“圓錐曲線”課堂教學設想

在進行“圓錐曲線”的教學中，教材的教學順序是橢圓、雙曲線、拋物線，在教學過程中，我總覺得這樣安排有些別扭，學生也感覺有些不自然。為此我選擇了這個教學內容作為研究案例，以時間順序給出教學案例。下面說說自己對“圓錐曲線”課堂教學的設想。

案例一：《圓錐曲線·橢圓》

1.問題：橢圓與圓有什么關系？（壓扁的圓、拉長的圓、傾斜的圓，如圖1所示。）

圖1 橢圓與圓

2.問題：橢圓怎么畫？圓可以用圓規畫，因為它是到定點距離等于定長的點的集合。那么，橢圓又會有什么性質呢？

3.動畫演示：“壓”圓成橢圓，圓心“彈開”，半徑“分成”兩條。（圖2）

圖2 壓圓成橢圓

4.觀察：橢圓兩條“半徑”與圓的半徑有什么關系？（相等）

5.動畫：兩條“半徑”與橢圓的交點移到其他位置。（圖3）

圖3 橢圓上點的移動

6.猜想：這兩條長短不同的“半徑”與圓半徑有什么關系？（和為半徑的兩倍）

7.畫圖：利用猜想畫圖（實則是橢圓的機械畫法），也可用幾何畫板演示這一過程。

8.形成定義：由學生來概括橢圓的定義，教師根據其回答適當補充。

9.解決問題：根據定義，求橢圓方程。

案例一有幾個優點：一是由直觀引入。以圓為知識基礎，抓住橢圓與圓的關系，直觀、形象、生動。二是橢圓的定義不是教師給出的，而是學生自己在通過觀察、猜測，并在畫圖檢驗的過程中概括出來的。但也存在著一些問題，比如說，對于焦點的定義，學生不但沒能理解，反而會錯誤認為焦點是由圓的圓心分開而來的。另外，假如說學生事先預習了課本，已經知道了橢圓的定義，輕松答出問題2的正確答案，那教師該如何處理呢？接下來的動畫演示、探索猜想、概念形成還有意義嗎？無論教師事先設計的教學過程多么巧妙，可學生一旦預習過，那么所謂的在課堂上展現的探索過程，往往成為師生間一次拙劣表演。

對于這些問題，我認真研究學生的認知水平，仔細分析教材，深入挖掘數學內部的聯系后提出一種設想：將拋物線的教學內容提前。對教材內容進行重新編排，設計出一個既以教材內容為基礎的，又不同于教材編排順序的教學方案。圓錐曲線中的三種曲線，學生最熟悉哪種？毫無疑問，是拋物線。因為他們對二次函數及其圖像是熟知的，而y＝kx2（k≠0）這類函數圖像即是拋物線的一種。可以把拋物線提到橢圓、雙曲線之前來學習；而課前不必預習下節課的內容，也不要求學生預習（當然，很有可能有些學生去預習了橢圓）。由此設計了案例二。

案例二：《圓錐曲線·拋物線》

1.活動：折紙。在紙片2厘米處設置一點，如圖4所示方法，將紙折20到30次，形成一系列折痕，它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓。

2.觀察、猜想：眾多折痕圍出一條拋物線。

3.建立坐標系，畫圖，發現與y＝x2很接近。

4.幾何畫板動態演示折紙過程及拋物線。

5.活動：（如圖5）畫三條平行于y 軸的直線，折紙，發現1:其反射線經過y 軸上一定點。

6.幾何畫板演示這一過程（證明可讓學生課后完成）。

7.概念形成：焦點（一組平行于y 軸的直線經拋物線反射后匯聚到焦點，由焦點出發的直線經拋物線反射后成一組平行線）。

8.發現2:拋物線上的點到焦點的距離等于到底邊的距離。從而可定義準線。

9.形成定義：（學生概括，教師補充）平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。

10.求拋物線標準方程（略）。◆(作者單位：江西省會昌中學)

□責任編輯：周瑜芽