二次函數的“三個二次”轉化與變形

函數是高中數學的靈魂，二次函數是“3個二次”的靈魂，運用二次函數的圖像和性質把另兩個二次串聯起來，形成了“3個二次”的知識系統和網絡結構，同時“3個二次”是溝通低次與高次函數 、方程、不等式的紐帶與橋梁，解決零點分布、不等式恒成立、函數不等式問題必不可少的工具。

高考直接考“3個二次”的題目不多，對“3個二次”的考查主要滲透在其他知識如不等式、導數、解析幾何、三角函數等主干知識中，所以“3個二次”在高中數學中有著舉足輕重的地位，我們在教學中要做好“3個二次”的教學，踏實雙基，為學習其他主干知識打下良好的基礎。

一、考點分布與命題趨勢

分析歷年高考試題，二次函數的考查內容主要有以下幾個方面：

1. 考查二次函數的圖像、性質等有關問題。

2. 考查二次方程的根的分布問題，構成變量的線性不等關系，與目標函數的最優解交匯。

3.考查二次不等式解的問題。

4.考查限定區間上的最值、值域問題。

5.考查導函數為二次函數的高次函數問題。

二、題型與策略

例1 函數f(x)=ax2+bx+c(c≠0)的圖像關于直線對稱x=-，據此推測對任意的非零實數a、b、c、m、n、p，關于x的方程m［f(x)］2+nf(x)+p=0的解集不可能是（ ）。

A.{1，2} B.{1，4} C.{1，2，3，4} D.{1，4，16，64}

解析：設f(x)=y， 原方程可化為:my2+ny+p=0 ，設此方程有兩個實數根s、t，則有f(x)=s或f(x)=t。

若f(x)=s與f(x)=t有實數根，據f(x)的圖像關于x=-對稱，可推知f(x)=s、f(x)=t的兩根和均為-。 對于A可找到對稱軸x=， 對于B可找到對稱軸x=，對于C可找到對稱軸x=，而對于D找不到任何對稱軸使之對稱，故選D。

例2 已知方程ax2+bx-1=0(a、b∈R，a＞0)有兩個不等的實數根，其中一個在區間（1，2）內，則a-b的取值范圍為 （ ）。

A .（-1，+∞） B .（-∞，-1） C .（-∞，1） D. （-1，1）

解析 令f(x)= ax2+bx-1(a＞0)，z=a-b。

由a＞0可得 Δ=b2+4a＞0恒成立，且f(x)=0兩根之積-小于0 ，又當 x=0時f(0)=1＜0，所以根據二次函數的圖像可知f(x)=0 在(1，2)內有一根，只需f(1)＜ 0且f(2)＞0即可。

于是問題轉化為在a＞0f(1)＜0f(2)＞0約束條件下求目標函數的最值問題，畫出可行域，可得解為B。

例3 已知關于x的不等式（a2-4）x2+(a+2) x-1≥0的解集是空集，求實數的取值范圍。

解析 先對a2-4是否等于零討論，然后才能確定解決問題的思路和方法。

a2-4＞0時，原不等式的解集不可能是空集，

a2-4=0時，若a=2 則原不等式的解集為x≥，不合題意。

若a=-2 則原不等式的解集為空集，符合題意。

若a2-4＜0，要使原不等式的解集為空集只需Δ=(a+2)2+4(a2-4)＜0即可。解得 -2≤a﹤ ，綜上所述 -2≤a﹤。

例4 已知3x2+2y2-6x=0則z=x2+y2的最大值為_____________。

解析 由2y2=6x-3x2≥0得 0≤x≤2，

z=x2+=-(x-3)2+ ，所以z∈[0，4] ，所以z的最大值為4。

例5 設函數f(x)=ax3+bx2+cx(a＜b＜c)，其圖像在點A(1，f (1))、B(m， f(m))處的斜率分別為0、-a，

⑴ 求證:0≤ ﹤1，

⑵ 若函數的遞增區間為[s，t] ，求∣s-t∣的取值范圍 。

解析： ⑴ f′(x)=ax2+2bx+c，

f′(1)=a+2b+c，

由a+2b+c=0 a﹤b﹤c

可得2a+2b﹤a+3b﹤a+2b+c=0 ，a﹤ 0， c﹥0 ， 且-﹤﹤1，

由已知可知1是 f′(x)=0的一根，而﹤0，所以另一根必小于零，

又f′(m)=-a﹥0，所以有二次函數的圖像可知f′(m)-a≤，把c=-a-2b代入上式可得2ab+b2≥0 所以≤-2或≥0

綜上所述0≤﹤1。

⑵ s，t為f′(x)=0的根，所以 s+t=-，st==--1

所以∣s-t∣2=4(+1)2 所以∣s-t∣∈[2，4 ）。

三、練習

1.已知函數f(x)=x2+2(p-2)x+p，若在區間[0，1]內至少存在一個實數C，使f(c)＞0，則實數的取值范圍是（ ）。

A.(1，4) B.(1，+∞) C.(0，+∞) D.(0，1)

2.不等式ax2-x+2-a＞0對任意的a∈[0，1] 恒成立，則x的取值范圍是（ ）。

A .(-∞，2) B.(-∞ ，0)∪(1，2) C.(1，2) D .(-∞，0)

3.已知函數f(x)=2x2+(4-m)x+4-mg(x) =mx，若對于任意實數x，f(x)與g(x)至少有1 個為正數，則實數m的取值范圍是（ ）。

A. [-4，4] B.(-4，4) C.(-∞，4] D.(-∞，-4)

4.若f(x)和g(x)都是定義在R上的函數，且方程 x-f[g(x)]=0有實數解，則g[f(x)]不可能是（ ）。

A.x2+x- B.x2+x+C.x2- D.x2+

5. 已知關于方程4x-2x+1+3m-1=0有2個實數根，則m的取值范圍是________ 。

6 .對于一切實數x，如果二次函數f(x)= ax2+bx+c的值恒為非負數，那么當b＞a時，代數式的最小值為_____。

7.若函數f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在[0，2]上的最小值是3，則a的值為________。

8.關于x的方程（x2-1）2-│x2-1│+k=0，給出下列四個命題：

①存在實數k，使得方程恰有2個不同的實數根，

②存在實數k，使得方程恰有4個不同的實數根，

③存在實數k，使得方程恰有5個不同的實數根，

④存在實數k，使得方程恰有8個不同的實數根。

其中真命題的是________。

9.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數，其圖像交x軸于點A、B、C，若點B的坐標為（2，0）且f(x)在 [-1，0]和[4，5]上有相反的單調性。

（1）求的取值范圍。

（2）在函數f(x)的圖像上是否存在一點M（x0，y0），使得在點M的切線斜率為3b？，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由。

（3）求∣AC∣的取值范圍。

10.已知函數f(x)對一切實數x，y均有f(x+y)-f(y)= x(x+2y+1)成立，且f(1)=0。

(1)求f(x)的表達式。

（2）如果m，n是方程af(x)=(a-1)x-2a-1(a﹥0)的2個實數根，且滿足不等式∣lgmn∣≤1，試求實數a的取值范圍。

參考答案

1.C 2.A 3.C 4.B 5.m≤ 6.3

7.a=1-或5+ 8.①②③④

9.（1）3≤≤6；（2）不存在；

（3）3≤∣AC∣≤4

10.（1）f(x)=x2+x-2 （2） a∈[，]

◆(作者單位：江西省玉山縣樟樹中學)

責任編輯：周瑜芽