例說數學課的詩意表達

一

詩歌尋求的是奔放、自由，數學尋求的是嚴謹、必然，恰似兩條平行的琴弦，永不相交，但我們可以將它們靠得很近，讓彼此感覺到對方的顫動，交相彈奏出人間最美的音符。 “給我一個支點，我便能移動地球！” 耳邊突然響起了阿基米德那句豪言壯語，我同樣可以自信地說：“給我一個恰當的角度，數學與詩歌能結合得非常完美。”

角度一：簡潔、概括

“兩點決定一條直線”“三點決定一個平面”，只用最簡潔的八個字就概括出一維空間和二維空間中最基本的幾何規律，其實詩歌中的“千古絕唱”也無一不是簡潔的、概括的。

“春蠶到死絲方盡，蠟炬成灰淚始干。”僅僅用了十四個漢字，便簡潔、生動、形象地概括出自然界無數條蠶的生物學規律、無數根蠟燭燃燒的物理現象，并將其擬人化，引申為為崇高和理想而獻身的鞠躬盡瘁，死而后已的精神。

簡潔、概括讓數學與詩歌聽到彼此的呼吸。

角度二：無窮、極限

圓周率π是大家熟知的，它是圓的周長和直徑的比值，π可以通過以下計算得到：

π居然是如此充滿規律的數通過無數步計算得到，您不充滿敬畏嗎？其實詩歌亦是充滿無窮的。

“問君能有幾多愁，恰似一江春水向東流”，滔滔的江水，只有無窮無盡的江水，才能表達亡國之君無窮無盡的惆悵，無窮無盡的孤獨，無窮無盡的苦悶。

無窮、極限讓數學與詩歌觸摸到人類智力與靈魂的最深處。

角度三：奔放、優美

小到細菌、病毒的生長，分子、原子的結構，大到天體的運動，宇宙的起源，都要用到數學模型，真乃“上可九天攬月，下可五洋捕蝦” 。號稱天下第一方程的麥克斯韋方程組，以極其優美的形式確立了電磁波理論，以下是麥克斯韋方程組的微分形式：

千萬別小看這四句“小詩”，沒有它就沒有今天的信息地球村。如今信息能以光速傳播，就是這四個方程的預言和應用。初等的數值計算，同樣也有優美的結果，如：

3×4＝12

33×34＝1122

333×334＝111222

3333×3334＝11112222

……

數學美是大自然和諧的反映，它會使人感到興奮，受到吸引，產生美感，容易激發學生的學習熱情，是學生克服困難，不斷創新的巨大動力。

“天生我才必有用，千金散盡還復來”“春風又綠江南岸”，李白的奔放，王安石家鄉的美景躍然紙上。

奔放、優美，讓數學與詩歌靠得很近。

角度四：個性、風格

瑞士數學家約翰·布努利1696年6月，在大數學家萊布尼茲的雜志《教師學報》上刊登了一個極具挑戰的 “最速降線”問題：從A點到B點的球（A、B兩點不在一條豎直線上），沿怎樣的曲線運動最快？布努利本人是知道答案的。當時，許多大數學家作出的答案都是錯誤的，布努利認為利用“最速降線”問題去羞辱一下不可一世的牛頓，是再好不過的機會。他親自將“最速降線”問題抄了一份，寄往英國。不久他收到一封來自英國的匿名信，答案完全正確。布努利一半是羞惱，一半是敬畏：“我從他的利爪認出了這頭獅子” 。未署名而知作者，是個性和風格使然。

詩更是如此，李白浪漫主義的奔放，詠唱對自由人生、個人價值的渴望與追求，杜甫現實主義的沉郁，多表現憂時傷世，悲天憫人的思想，一讀便知。

個性、風格，讓數學與詩歌都烙上創造者的印記。

二

毋庸置疑，數學充滿了詩意。我想，作為傳授數學知識的課堂，更應該充滿詩意。詩意的數學課堂應當像詩一樣，有章法、有想象、有創造、有智慧，更要讓人回味無窮。

（一）潤物無聲，漸入佳境

詩有律詩、絕句等等，詩有詩的章法。同樣教育也有教育的章法，教育是慢的事業，要春風化雨，潤物無聲。新課程改革給廣大教師帶來了全新的理念，如目標多元、重視過程、講求合作、關注體驗等，給數學課堂帶來了勃勃生機，但在可喜之余，教育出現了一些浮躁與急功近利。我們不難發現一些數學課堂教無章法，學無方法。集中表現在把目標分散看成目標多元，討論匯報看成重視過程，桌子拼起來坐就是合作學習，閉起眼睛想就是關注體驗，完完全全在走過場。如此教學，令人擔憂。

最近，我區舉行了“青藍工程”師徒結對教學競賽，我指導的《圓的認識》一課榮獲一等獎。課的一開始，多媒體出示：平靜的湖面，岸邊的楊柳，再加上背景音樂，畫面如此美妙。學生置身其中，心一下子靜了下來。“咚”一聲，一塊石子輕輕地投入湖中，學生雙眼緊盯湖面。一石激起的不僅僅是一圈圈的漣漪，更重要的是激起了學生學習的熱情。緊接著教師提問：“你看到了什么？（圓形）你還能舉出更多的圓形的例子嗎？” 這里，以兒童周圍世界為源泉，讓學生有話可說，有例可舉。課一開頭就如同磁鐵一般，將學生牢牢地吸引住，使學生迅速進入角色。

有章法的課堂，還應當教學結構合理，各環節教學的重點突出，目標明確，有層次感和節奏感。教學調控能力強，既要有預設，更要有生成。既要基礎扎實，又要有深度，更不能缺乏靈活性。

（二）迷霧遮眼，撥云見日

愛因斯坦說過：“想象力比知識更重要。”教學中呈現的數學素材，學生往往只能看到表面，猶如迷霧遮眼。這時，就要讓學生插上想象的翅膀，撥云見日，尋找事物的本質。

在《圓的認識》中，我一改從畫圓開始認識圓的傳統教學方法，而是從方開始認識圓。首先出示一個正方形，然后通過幾何畫板，逐步增加邊數，正八邊形、正十六邊形、正三十二、正六十四邊形……

讓學生觀察，正多邊形的邊數越來越多，圖形有怎樣的變化？越來越接近一個圓。當邊數達到64時，學生已經看不出大屏幕上是一個正64邊形了，幾乎是一個圓了。我明確告訴學生：它不是圓，只是越來越接近一個圓。無論正多邊形的邊數如何巨大，它永遠是一個正多邊形。只有邊數為無窮時，它才是一個真正意義上的圓，這就是圓的極限定義：正n邊形，當n→∞時就是圓。這一定義溝通了方與圓的聯系，更重要的是后續課程中，圓的周長和面積可以由此得到。2000多年前老子的 “大方無隅”就是圓的極限定義最精煉的表達，完全具備了極限的思想。

（三）石本無火，相擊發光

著名數學家、數學教育家弗蘭登塔爾認為數學在本質上是一項人類活動，讓學生重復人類數學發現的過程是可能的。他說：“數學學習是一個再創造的過程。”

還以《圓的認識》為例，先給出正方形4個頂點為提示點，再分別給出正八邊形、正十六邊形、正三十二邊形的頂點為提示點進行畫圓比賽。

石本無火，相擊而發靈光，讓學生在活動中，在彼此的思想碰撞中發現：為什么給的提示點越多，畫得就越圓？并思考提示點是如何確定的？通過交流，終于明白：提示點與中心點等距離，所以提示點越多，所畫圖形越接近圓。并進一步知道，當有無數個提示點時，就不用再畫了，提示點的集合就是一個圓。水到渠成，這就是圓的集合定義：到定點的距離等于定長的點的集合。通過畫一畫、想一想、議一議，學生自己再創造出圓的定義，充分體現了學生的主體地位，實現了學生知識的內化。再用墨子“圓，一中同長也。”使學生意會到的、模糊的圓的定義一下子清晰起來，把知識的獲得權交給了學生。

（四）智者之詩，可以養心

《三角形內角和》一課，從學生最喜歡的彈弓談起。A、B是彈弓中橡皮的兩個固定點，O是手拉伸橡皮的一個點，當O點靠近AB邊時，∠O越來越大，直至180度，∠A和∠B越來越小，直至0度，極限值為∠O＋∠A＋∠B＝180；當O點遠離AB邊時，∠O越來越小，直至0度，∠A和∠B越來越大，直至90度，極限值仍為∠O＋∠A＋∠B＝180。學生贊嘆不已：數學還能玩中學。

《奇妙的圖形密鋪》一課，一開始，我讓學生猜我最崇拜的人是誰？讓學生得知我最崇拜的人是荷蘭的圖形藝術家埃舍爾。然后告訴學生，我之所以崇拜埃舍爾，是因為我小的時候看到埃舍爾的一幅畫，一幅不可思議的畫：水由上面往下流，但又重新回到上面。這幅畫與數學中的許多悖論有關，激發了學生的好奇心。

課的最后欣賞埃舍爾的密鋪作品，首尾呼應。邊欣賞邊介紹：密鋪圖形奇妙而美麗，古往今來，不少藝術家都在這方面進行過研究，其中最富有趣味的是埃舍爾，他創造了各種并不局限于幾何圖形的密鋪圖案。這些圖案包括魚、青蛙、狗、人、蜥蜴，甚至是他憑空想象的物體。他創造的藝術作品，結合了數學與藝術，精彩之處使人心靈震撼、心蕩神馳。更能讓人對數學產生另一種看法：數學不是枯燥乏味的，使學生產生學習數學的內驅力。

（五）余音裊裊，回味無窮

一堂課就是一首詩，一首歌，如果在課的結尾留下裊裊不盡的余音，設計一個耐人尋味的結尾，不僅能鞏固知識，強化興趣，還能活躍思維，開拓思路。做到境過意存。

《圓的認識》一課的最后提出一個問題：為什么自然力形成的是圓而不是方呢？下課了，該畫句號了，而拋給學生的是一個大大的問號。這樣一個大大的問號，學生必須思考：如果沒有人類的活動，自然界很難找到正方形，而近似圓形的，球體的比比皆是。看來上帝是個經濟學家，自然的東西都是最經濟的、最省材料的。如樹干的橫截面是圓形，它以最少的書皮包裹樹干，使樹中導管和篩管的分布數量要比其他形狀的多得多，這樣，圓形樹干輸送水分和養料的能力就更大，更有利于樹木的生長。這樣的問題是開放的，答案不是現成的，也許它根本就不是一個數學問題，也不是一個科學問題，很可能是一個偉大的哲學問題。

洋溢著詩意的數學課堂，它激勵、喚醒、鼓舞的不僅僅是學生，同樣也使教師思維激蕩。

（作者單位：江蘇南通師范二附小）

本欄責任編輯李淳

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