數學教學應重視開放性應用題的探索

■何少軍

數學教學應重視開放性應用題的探索

■何少軍

數學開放性應用問題是新課程的一個重要教學理念，也是評判新課程教學改革成功與否的一個依據。數學開放題在社會各個領域的廣泛應用，已使數學成為一種文化。新課程要求數學教學在以人為本的視域下，對開放性應用題的背景、策略、功能進行分析、探究與凝練，發(fā)揮開放性應用題的獨特功能，培育中學生科學素養(yǎng)與創(chuàng)新思維，進而壯實學生成長的根基，提升學生生命的高度，實現數學教學課程目標。

中學數學；開放性應用題；課程標準

當下，中學數學傳統(tǒng)的“一題一答”式教學設計與教學策略已經不能適應新課程標準。那種死記題型，缺乏創(chuàng)意的“功利性”應試教學策略，禁錮了學生的數學思維，削弱了學生解決實際問題的能力，阻礙了學生可持續(xù)發(fā)展的路徑。這種為了一抹功利的傳統(tǒng)應試數學教學策略以及對數學課程標準的片面理解與盲目執(zhí)行，只會將棟梁之才培養(yǎng)成一支完美的牙簽。因此，數學教師一定要清醒地跟進、理性地匡正，切實開展數學開放性應用題的分析、探究與凝練。

1 應重視開放性應用題有效設計的背景

當今社會數學在各個領域應用的空前廣泛性使數學已經成為一種文化。馬克思說過：“每個人的自由發(fā)展是一切人的自由發(fā)展的條件。”實現全面、協調、可持續(xù)的人才發(fā)展觀從來就是一個家庭的核心問題，也是每位學生家長關注的焦點，更是貫徹教育改革方針的現實考量。為此，數學教師必須重視數學開放性應用題設計的現實背景，在以人為本的視域下，創(chuàng)新設計一些學生感興趣、與學生生活密切相關的材料或開放性應用題，選擇適當的教學時機，以靈活的方式滲透到教學中去，將所學知識融會貫通，不受定勢的影響，不受傳統(tǒng)的束縛，從多角度、多因果、多方位、多渠道地解決問題，為學生成長發(fā)展提供思考、探索、發(fā)現和創(chuàng)新的最大空間，為學生提供全面自由發(fā)展和健康成長的終極關懷。

2 應重視開放性應用題有效解決的策略

數學教學中，通常將條件不完備、結論不確定，或者解決問題的方法不唯一的并與實際生活生產相關聯的問題稱之為開放性應用題。數學開放性應用題由于具有與傳統(tǒng)封閉題不同的特點，即問題結構的開放與解決問題策略的開放，同時其本身也具有開放性，能夠由這個問題引申、變化出新的問題。正因為這類開放性應用題具備這些特點，數學教學中的學習主體也會在解題過程中形成積極探究和創(chuàng)造的心理態(tài)勢，對數學本質產生一種全新的領悟。為此，數學教師在教學中要十分重視開放性應用題有效解決的策略。

【例】今有六邊形鋼架ABCDEF，由6條鋼管絞接而成（圖1）。為使這一鋼架穩(wěn)固，試用另外3條鋼管連接，使其固定不能活動。問有多少種不同的連接方法？

【分析】這類開放性應用題，實際可以通過構造數學模型，把它轉化成數學結構。即上例可轉化為：六邊形ABCDEF任添3條對角線后使其固定，有多少種添法？

解上述問題的方法很多，如果沒有一個良好的解題策略，很難得出一個完美的答案。為了不遺漏答案，在解題時首先可以計算出所有添法（不考慮固定問題）；然后再考慮任添對角線是否可以分類，各類的每種情況是否固定，從而得到問題的解決。

1）從3個頂點出發(fā)，且各頂點處有2條，有2種情況，即ΔACE、ΔCDF（圖2）。

2）從4個項點出發(fā)，且：①1個頂點處3條，另3個頂點處各1條，有6種情況（圖3）；②2個頂點處各1條，另2個頂點處2條，共有30種情況，其中圖4-1、圖4-2各有3種，圖4-3～圖4-6各有6種。

3）從5個頂點出發(fā)，且1個頂點處2條，另4個頂點處各1條，共有42種情況，圖5-1～圖5-7各有6種。

4）從6個頂點出發(fā)，有4種，其中圖6-1有1種，圖6-2有3種。

【分析證明】圖2、圖3、圖4-1、圖4-2可根據三角形的穩(wěn)定性得證六邊形的穩(wěn)定性。

圖4-3的證明見圖7。圖4-4同理得證。

圖5-1證明見圖8。圖4-5、圖5-2、圖5-5同理得證。

圖5-3證明見圖9。圖5-4～圖5-7同理得證。

圖4-6證明：因為ADEF為四邊形，又因為此四邊形是組成六邊形的一部分，根據四邊形的不穩(wěn)定性得證。

圖6-1證明：因為ABED、BEFC、ADCF都為四邊形，所以六邊形不穩(wěn)定。

圖6-2證明：因為ABE、CDE都為三角形，由于三角形的穩(wěn)定性可把圖形畫成圖6-3，由四邊形的不穩(wěn)定性得證其不穩(wěn)定性。

以上探討的各種情況除圖4-6、圖6-1、圖6-2共10種不固定外，其他74種方法都是固定的。因此，使這一鋼架穩(wěn)固，試用3條鋼管連接使之不能活動，共有74種不同的方法。

3 應重視開放性應用題有效生成的啟示

開放性應用題的有效教學總是在教學實踐中動態(tài)生成的，對這種教學實踐進行總結與凝練，能給人許多有益的啟示。

1）開放型應用題有利于培養(yǎng)學生用現代數學的思想，通過觀察、比較、分析、歸納等方法去解決數學實際問題。重視開放性應用題的教學不僅能鞏固和深化學生所學的知識，也能使學生養(yǎng)成獨立思考、勇于探索的習慣。

2）探索是數學的生命線。開放性應用題知識覆蓋面大，綜合性強，解決方法靈活，有一定深度和難度，它的解決過程本身是一種探索性的活動過程。而且這類問題由于題目各個要素的開放性，能激起學生的積極探索動機，使學生對所學的內容產生濃厚的興趣。因此，在教學中適時引入這類問題，有利于培養(yǎng)學生的學習興趣，發(fā)展學生的直覺思維、邏輯思維及創(chuàng)造性思維。

3）美國教育家布盧姆說過：“一個帶著積極情感學習課程的學生或者比那些對學習材料感到焦慮和恐懼的學生，學得更加輕松，更加迅速。”因此，選擇有趣味而熟悉的應用題，使學生容易進入問題的情境，積極參與解題活動，在解決問題中得到最佳發(fā)展，也就能得到最佳的學習效果，使學生真正成為知識獲取過程的主動參與者，成為課堂學習的主人。

4）開放性應用題有利于師生共同成長。隨著數學課改的深入，開放性應用題的有效探索將成為一種趨勢，這將對教師提出更高的要求。首先，教師必須具備扎實的基礎知識和寬廣的知識面，針對課程目標與學生實際，設計出整套開放性問題，然后引導學生揭示客觀事物的本質與內在聯系，在此基礎上為學生生命成長播下開創(chuàng)性的種子，進而壯實學生成長的根基，提升學生生命的高度，實現數學教學課程目標。■

[1]張奠宙,戴再平.中學數學問題集[M].上海:華東師范大學出版社,1995

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[3]吳長江.高中數學開放性問題[M].上海:上海大學出版社,2003

[4]符美權.基于新課程的中學數學開放性教學模式探索[J].改革與開放,2009(6):125

（作者單位：浙江省諸暨教師進修學校）

10.3969/j.issn.1671-489X.2011.11.084