淺議初中數學中“設而不求”的解題技巧

　　摘 要： 本文介紹了初中數學中“設而不求”的解題技巧，具體有以下四種：比較化簡中“設而不求”，分式方程中“設而不求”，幾何求證中“設而不求”，問題轉化中“設而不求”。
　　關鍵詞： 初中數學 設而不求 解題技巧
　　
　　“設而不求”是特殊解題方法之一，也屬常規解題技巧.在解題中可以化繁為簡，化難為易，下面歸納的幾個方面是初中數學中常遇的，也是中學教學大綱要求掌握的.
　　一、比較化簡中“設而不求”
　　在初中數學教學中，要培養學生根據具體題目選擇解題方法的能力，對一些無法用常規方法解答的題目，就不能用常規方法反復嘗試，更不能束手無策，而要考慮用特殊方法來解答.
　　例1：比較368972/764797與368975/764804的大小.
　　分析：因為是初中數學題，不可能用通分的方法解答，我們可以通過368975與368972相差3和764804與764797相差7來建立關系，尋找解題的突破口.
　　解：設368972/764797=a/b，則368975/764804=（a+3）/（b+7），
　　由a/b-（a+3）/（b+7）=（7a-3b）/b（b+7），
　　因為7a-3b＞0，b（b+7）＞0，
　　所以（7a-3b）/b（b+7）＞0，
　　即有a/b-（a+3）/（b+7）＞0，
　　從而有368972/764797＞368975/764804.
　　此題如果按照常規思路去思考，就很難得出正確的結果，考試時會將學生引入死胡同，耽誤考試時間，影響其他題目的解答.
　　例2：化簡+
　　解：令=a，=b（a＞0，b＞0），則a+b=8，ab=1，
　　所以（a+b）=10，原式=a+b=.
　　這種類型的題目很多.如：化簡（1）：+，化簡（2）：等，與例1不同的是這類題目有個非常明顯的特點是：代數式中有兩數的平方和與兩數的積都是一個簡單的實數.
　　二、分式方程中“設而不求”
　　設而不求在解較復雜的分式方程應用較多，解此類題目，要引導學生在許多不同之中尋找相同，然后再用一個字母代替一個代數式，從而起到化簡解題步驟，降低解題難度的作用.
　　例3：解方程++=0
　　分析：仔細觀察，便會發現，分式的分母中均有x+6，如將其用一個字母替換，題目便會迎刃而解.
　　解:可設x+6=y，原方程變形為++=0.
　　去分母并整理得y-49x=0，所以y+7x=0或y-7x=0，
　　即x+7x+6=0或x-7x+6=0，得x=-1，x=-6，x=1，x=6.
　　經檢驗x、x、x、x都是原方程的解.
　　例4：解方程：+=+
　　分析：顯然與和與互為倒數關系，因此有如下解法：
　　設=u，=v，
　　原方程變為u+v=+，
　　去分母整理后得（u+v）（uv-1）=0，有u+v=0或uv=1，
　　即+=0或×=1，
　　解得x=，x=0，x=5.
　　經檢驗x、x、x都是方程的解.
　　例4較例3更容易發現題目的規律，學生要掌握解題技巧，必須要有能準確地發現解題規律的能力，必須從對題目整體感知訓練起步.要求學生一見題目，就能判斷出是否可用特殊方法解答.
　　三、幾何求證中“設而不求”
　　幾何證明時，有時也可用引進代數知識，但用代數知識解答幾何問題，就能使原來的證明題變得簡單，如果運用這一技巧就能達到降低題目難度的效果，使題目順利得到解答，學生容易接受.
　　例5：如圖，如果在一直線上順次有四個點A、B、C、D，求證：AD×BC+AB×CD=AC×BD.
　　 A B C D
　　?搖 ?搖.?搖 ?搖.?搖 ?搖.?搖 ?搖.?搖?搖
　　證明：設AB=a，BC=b，CD=c，
　　則AD×BC+AB×CD=（a+b+c）×b+ac
　　=ab+b+bc+ac=b（a+b）+c（a+b）
　　=（a+b）（b+c）=AC×BD.
　　這里所設線段的長度在計算中很好地起了橋梁作用.如果不用此方法，或許問題也能解決，但會付出較大的精力.
　　在幾何題目中，有一類是純計算的，如求三角形的面積.解題中我們會發現要單獨分別求出底和高，往往比較難，但求出底與高的積會很容易，而知道底與高的積，三角形面積也就求出來了，直接代入公式，便是一條可行的捷徑.
　　例6：直角三角形斜邊上的中線長為1，周長為2+，求其面積.
　　解：斜邊上中線的長為1，故斜邊長為2，又三角形的周長為2+，則兩直角邊的和為，設兩直角邊為a、b，則有a+b=4①，a+b=②.
　　②-①得2ab=2，所以ab=1，s=ab=.
　　題目解答后，教師要學生關注，a+b；a+b；ab是一組有緊密聯系的關系式，掌握它們的聯系規則，也有利于同一類型題目的解答.
　　四、問題轉化中“設而不求”
　　問題轉化，就是尋找出知識的聯系點，把較復雜的問題化為簡單易解的問題，解這樣題目的關鍵是準確地找到用字母代替什么樣的代數式.
　　例7：已知方程x-11x+（30+R）=0的兩根比5大，求實數R的范圍.
　　解：設y=x-5，則x=y+5，原方程轉化為y-y+R=0.
　　由x＞5得y＞0，即方程y-y+R=0有兩正根.
　　故由：（-1）-4R≥0和R＞0，解得0＜R≤1/4.
　　例8：m為實數，方程5x-12x+4+m=0，若有一根大于2，另一根小于2，求m的取值范圍.解法與例5相似.
　　比較例5和例6可用看出，x系數是否是1對解答題目沒有影響，主要看其根的情況.根大于幾，就將x設為y加幾，然后看是否能將原方程轉化為最簡單的一元二次方程.
　　數學的解題方法與技巧，是在數學訓練中逐步形成的，要掌握解題技巧就要在多做典型題目的基礎上，不斷總結與發現，隨著數學教學的研究的深入，教師要深入研究數學教材內容，分析數學不同知識點之間的內在聯系，掌握解題的基本功.提高解題技巧，有助于教師業務水平和教學能力的提高，更有助于人才的培養和教學質量的提高.