數無形時少直

　　《考試說明》對各項數學能力提出了可測性的要求，高考試題是各項要求的具體體現，要理解、培養學生的數學能力，透徹地分析一些高考試題是一個不錯的途徑.數形結合思想是高中數學中最重要的思想方法之一.下面先解讀《2011年福建數學考試說明》對于數形結合思想的考查要求.
　　數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面.
　　數形結合是數學解題中常用的思想方法，運用數形結合思想，使某些抽象的數學問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，發現解題思路，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化解題過程.
　　實現數形結合，通常有以下途徑：①實數與數軸上的點的對應關系；②有序數組與坐標平面（空間）上的點的對應關系；③函數與圖像的對應關系；④曲線與方程的對應關系；⑤以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、復數、三角函數等；⑥所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義.
　　運用數形結合研究數學問題，加強了知識的橫向聯系和綜合應用，對于溝通代數與幾何的聯系，具有指導意義.縱觀多年來的高試題，巧妙運用數形結合思想方法解決一些抽象的數學問題，可起事半功倍的效果.數形結合的重點是研究“以形助數”，這在解選題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野.
　　《考試說明》明確提出數形結合思想，包含：（1）“以形助數”（即代數問題幾何化）：借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質.（2）“以數輔形”（即幾何問題代數化）：借助數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質，立體幾何中常見的探究滿足條件的線段AB上的點P時可設=λ或AP∶PB=k，等等.（3）數形結合的重點是研究“以形助數”.
　　對于數形結合思想的考查，考綱精神怎樣在具體的高考試題中得以體現呢？我帶著這樣的疑問通覽了近幾年各地高考，發現近幾年各地高考對數形結合思想的考查堪稱完美.在近幾年各地高考中涉及的集合與邏輯、函數、方程、不等式、向量、數列、解析幾何、立體幾何都可舉到“以形助數”的例子；而且數形結合的“常用公式”有：兩點間的距離公式（“平方和”）、斜率坐標公式（“分式”）、二元變量的等式（函數與方程）、一（二）元一次不等式等；結合的“常用圖”有：Venn圖、數軸、平面直角坐標系（函數的圖像、平面區域、直線與曲線等）、平面向量、三角函數、直線、圓、圓錐曲線、立體圖形等.下面分析“以形助數”的幾個應用例子.
　　例1.（2008湖北卷）方程2+x＝3的實數解的個數為.
　　分析：針對方程的“超越性”，無法直接求解，可考慮方程變形.
　　將問題轉化為2個函數圖像的交點的個數，有幾種變形方法？方程變形為3-x＝2，令y＝3-x，y＝2，由圖像可知有2個交點.
　　例2.（2009山東卷文14理14，若函數f（x）=a-x-a（a＞0，a≠1）有兩個零點，則實數a的取值范圍是.
　　分析：求函數的零點的問題可轉化為求方程的根.針對方程的“超越性”，無法直接求解.借助圖形作出定性判斷是相關問題的唯一思路.
　　將已知條件轉化為“函數y=a與y=x+a的圖像有兩個交點”，從而可利用“數形結合”通過“觀察法”得出結論：其中對函數y=a的圖像，以及對a進行分類討論是求解的關鍵.
　　故a＞1
　　例3.（2008全國卷Ⅰ理9）設奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式＜0的解集為（D）.
　　A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（0，1）C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）
　　分析：如圖，作出函數的圖像，由奇函數f（x）可知=＜0，由圖可知原不等式解集為（-1，0）∪（0，1）.
　　小結：在選擇題或填空題中給出一個函數的某些特征或性質時，常利用圖像求解之.利用函數圖像解決有問題的基本思路：研究函數的基本性質→（借助特征點（線））作出函數的圖像→利用函數圖像解決有關問題.
　　例4.（2010年江蘇卷）若函數f（x）=x+1，x≥0，1，x＜0，則滿足不等式f（1-x）＞f（2x）的x的范圍是.
　　分析：觀察圖像可知：不等式f（1-x）＞f（2x）?圳2x≥01-x＞2x或2x＜01-x＞0，解得-1＜x＜-1.
　　例5.（2011年全國卷文12）已知函數y=f（x）的周期為2，當x∈［-1，1］時，f（x）=x，那么函數y=f（x）的圖像與函數y=|lgx|的圖像的交點共有（）.
　　A.10個B.9個C.8個D.1個
　　分析：本題考查函數的圖像和性質，屬于難題.本題可用圖像法解，易知共10個交點.
　　例6.已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），則cos=（A）.
　　A. B. C. D.
　　方法一（特值法）：在平面直角坐標系中，點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x+y=1的兩個交點，如圖.若取α=，β=，則有cos=，-a+b=ca+b=c，解得a=0，b=c.
　　方法二：在平面直角坐標系中，點A（cosα，sinα）B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x+y=1的兩個交點，如圖.
　　從而|AB|=（cosα-cosβ）+（sinα-sinβ）=2-2cos（α-β）.
　　∵單位圓的圓心到直線l的距離d=|OM|=，
　　由平面幾何知識知|OA|=|OM|+（|MA|），
　　即1-=d=，∴cos=.
　　方法三：在平面直角坐標系中，點A（cosα，sinα）B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x+y=1的兩個交點，如圖.根據三角函數的定義，可知OA，OB分別是角α，β的終邊，α-β=2kπ±∠AOB，k∈Z，所以=kπ±∠AOB=kπ±∠AOM，k∈Z，cos=cos（kπ±∠AOM）=cos∠AOM，cos∠AOM==d=
　　∴cos=.
　　小結：數形結合的相關知識有：三角函數的定義、三角函數線、三角函數的圖像、（cosθ，sinθ）是圓x+y=1上的點等.
　　例7.（2010福建省質檢文21）已知函數f（x）=xe.
　　（Ⅰ）求f（x）的單調區間與極值；
　　（Ⅱ）是否存在實數a使得對于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有＞成立？若存在，求a的范圍；若不存在，說明理由.
　　解法一：（見質檢卷參考答案）
　　解法二：（Ⅰ）略；（Ⅱ）如圖，設P（x，y），P（x，y）則k=，k=由圖可知，要使對于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有k＜k成立，只需滿足k（x）=f′（x）在（a，+∞）上單調遞增，故有k′（x）=e（x+2）≥0對x＞a恒成立，解不等式得x≥-2，要使k′（x）=e（x+2）≥0對x＞a恒成立，只需滿足（a，+∞）?哿［-2，+∞），解不等式得x≥-2，所以a≥-2.
　　解法三：（Ⅰ）略；
　　（Ⅱ）如圖，設P（x，y），P（x，y）則k=，k=，由圖可知，要使對于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有k＜k成立，只需函數y=f（x）的圖像在P，P處的切線斜率k，k滿足k＜k即k（x）＜k（x），故k（x）=f′（x）在（a，+∞）上單調遞增，故有k′（x）=e（x+2）≥0對x＞a恒成立，解不等式得x≥-2，要使k′（x）=e（x+2）≥0對x＞a恒成立，只需滿足（a，+∞）?哿［-2，+∞），所以a≥-2.
　　
　　例8.（2010湖北文卷21）設函數f（x）=x-x+bx+c，其中a＞0.曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=1.
　　（Ⅰ）確定b，c的值；
　　（Ⅱ）設曲線y=f（x）在點（x，f（x））及（x，f（x））處的切線都過點（0，2）.證明：當x≠x時，f′（x）≠f′（x）；
　　（Ⅲ）若過點（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍.
　　解：（Ⅰ）由f（x）=x-x+bx+c得：f（0）=c，f′（x）=x-ax+b，f′（0）=b.
　　又由曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=1，得f（0）=1，f′（0）=0.
　　故b=0，c=1.
　　（Ⅱ）f（x）=x-x+1，f′（x）=x-ax.
　　由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f′（t）（x-t），
　　而點（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f′（t）（-t），化簡得t-t+1=0，
　　即關于t的方程為t-t+1=0.
　　下面用反證法證明.
　　假設f′（x）=f′（x），由于曲線y=f（x）在點（x，f（x））及（x，f（x））處的切線都過點（0，2），則下列等式成立.
　　x-x+1=0（1）x-xx+1=0（2）x-ax=x-ax（3）
　　由（3）得x+x=a.
　　由（1）-（2）得x+xx+x=a（4）
　　又x+xx+x=（x+x）-xx=a-x（a-x）=x-ax+a=（x-）+a≥a.
　　故由（4）得x=，此時x=與x≠x，矛盾.
　　∴假設不成立即f′（x）≠f′（x）成立.
　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，過點（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價于方程2-f（t）=f′（t）（0-t）有三個相異的實根，即等價于方程t-t+1=0有三個相異的實根.
　　設g（t）=t-t+1.g′（t）=2t-at=2t（t-），由于a＞0，故有
　　作出函數y=g（t）的圖像，如圖.
　　由圖可知，要使g（t）=0有三個相異的實根，
　　當且僅當1-＜0，a＞2.
　　∴a的取值范圍是（2，+∞）.
　　小結：利用函數圖像解決有問題的基本思路：研究函數的基本性質→（借助特征點（線））作出函數的圖像→利用函數圖像解決有關問題.
　　例9.（“伯樂馬”數學思想方法（二））已知函數f（x）=x+ax+2bx+c，函數f（x）在（0，1）內取得極大值，函數f（x）在（1，2）內取得極小值.
　　（Ⅰ）求a+b的取值范圍；（Ⅱ）求u=的取值范圍；（Ⅲ）求a-2a+b的取值范圍.
　　解：f′（x）=x+ax+2b，∵函數f（x）在（0，1）取得極大值，在（1，2）取得極小值.
　　∴f′（x）=x+ax+2b=0有兩根，一根在區間（0，1）內，另一根在區間（1，2）內
　　∴有f′（0）＞0f′（1）＜0f′（2）＞0，即b＞0a+2b+1＜0a+b+2＞0
　　作出可行域，如圖所示，
　　D（-2，0），B（-1，0），A（-3，1）
　　（Ⅰ）令a+b=t，則由圖可知
　　a+b的取值范圍為（-2，-1）
　　（Ⅱ）u=可以看作是點（a，b）和點C（1，2）
　　所在的直線的斜率，則u=∈（k，k），
　　k=，k=1∴u=的取值范圍為（，1）.
　　（Ⅲ）a-2a+b=（a-1）+b-1.
　　可以看作是點（a，b）和點M（1，0）間的距離，|MB|＜＜|MA|
　　|MA|=，|MB|=2，∴a-2a+b的取值范圍為（3，16）.
　　以上幾個例子都是充分利用幾何圖形的性質直觀、簡捷地解決數學問題，讓我們感受數形結合思想求解數學問題的“數學美”，再次體會著名數學家華羅庚的詩句：“數形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛.數缺形時少直觀，形少數時難入微.”