高中數(shù)學(xué)中齊次多項式的運用

　　齊次多項式并不是高中數(shù)學(xué)知識章節(jié)中的內(nèi)容，卻多次出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課本中。因此，要想打好基礎(chǔ)，熟練地運用數(shù)學(xué)知識，就必須系統(tǒng)地了解齊次多項式內(nèi)容及相關(guān)的運用。若在高一、高二打基礎(chǔ)時沒有注意到它的系統(tǒng)化，到了高三之后，隨著數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化，縱觀整個數(shù)學(xué)體系就不難發(fā)現(xiàn)，齊次多項式穿插出現(xiàn)在多種題型中。很多高三學(xué)生在復(fù)習(xí)中做了大量習(xí)題，甚至做了很多難題筆記、易錯題分析，雖然記憶了很多，但缺少對問題的整理總結(jié)，以至于不能很好地將各部分知識有機(jī)地結(jié)合起來。下面我結(jié)合多年的教學(xué)實踐，從數(shù)學(xué)的角度，談?wù)劯咧须A段齊次多項式的運用方法。
　　2011年4月初，有一名平時成績總是徘徊在本科線附近的同學(xué)向我詢問這么一道題的解法：
　　例1.設(shè)tanα=2，求的值.
　　對于這道題，我當(dāng)時沒有立即給予解答。想了一會，我問這位同學(xué)：這道題教材上有沒有類似的？做過的習(xí)題中有沒有類似的？按考試說明的要求，這題會不會是超綱的？因為他對課本并沒有這么深的認(rèn)識，所以沒有立即回答上來，而是帶著這些疑問回去找答案去了。
　　這位同學(xué)晚自習(xí)到辦公室來，很高興地對我說教材上有類似的（蘇教版數(shù)學(xué)必修4，P22，T9），并很快給予解答。現(xiàn)摘錄如下：
　　例2.（1）設(shè)tanα=2，計算；
　　（2）設(shè)tanα=-，計算.
　　解：（1）由tanα=2，可知cosα≠0，為了使用化名法，使目標(biāo)式向tanα靠近，可同時除以cosα，得
　　=3.
　?。?）使用變1法將分子，分母變換一下，得
　　===.
　　受到課本習(xí)題的啟發(fā)，這位同學(xué)很快給出例1的解答：
　　方法1：由已知條件可知sinα=2cosα，代入原式
　　==
　　∵cosα===
　　原式==
　　方法2：由tanα=2，可知cosα≠0
　　=
　　=
　　==
　　我表揚了他做得很好，很完整。我啟發(fā)他：可以想想自己當(dāng)時為什么沒想起來，以后再次碰到這樣的問題該怎么處理呢？這類問題有什么特征呢？他又看了看，很快說出了自己的看法?？吹竭@位同學(xué)的興趣被激發(fā)出來，我趁機(jī)把這部分知識具體教給他，并告訴他這類式子的特點，在教材中曾多次出現(xiàn)過。
　　定義：一個寫成標(biāo)準(zhǔn)形式的多項式，如果所有各項的次數(shù)都是n，稱它為n次齊次多項式，簡稱齊次式。
　　如：ax+by+cz是一次齊次式，
　　ax+by+c+dxy是二次齊次式，
　　ax+by+cz-4xyz是三次齊次式，
　　一般不把3x+4y-2之類式子看成齊次式.
　　這位同學(xué)高興地說：那么例1、2的式子都有齊次式的特點。我對他說：你再到教材里找找看，還有嗎？一會兒工夫，他便找到這樣的式子（蘇教版數(shù)學(xué)必修4，P115，T13）：
　　例3.已知函數(shù)y=sinx+2sinxcosx+3cosx（x