巧用等差數列前n項和公式S_n=An²+Bn解題

　　摘 要： 本文根據實例說明利用“S=An+Bn是{a}為等差數列的充要條件”這一結論，運用待定系數法，借助函數相關知識可以有效解決等差數列前n項和與第n項等相關問題.
　　關鍵詞： 等差數列 前n項和公式 解題方法
　　
　　等差數列{a}的前n項和為S=an+d，若令A=，B=a+則S=An+Bn；反之，數列{a}的前n項和若為S=An+Bn，則由a=S-S?搖?搖?搖n≥2S?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖n=1可得通項a=2An-A+B，進而得a-a=2A（常數），所以{a}是等差數列.
　　由上可知：S=An+Bn是{a}為等差數列的充要條件.若能運用這一結論，等差數列中一些涉及和與項的問題就能方便地得到解決.
　　例1.設S，T分別是等差數列{a}與等差數列{b}的前n項和，若對任意的n∈N都有=，則為?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解：∵{a}，{b}為等差數列，=，
　　∴令S=（7n+1）nt，T=（4n+27）nt，
　　求得a=（14n-6）t，b=（8+23）t，∴=，∴==.
　　分析：兩個等差數列前n項和之比與第n項之比之間存在確定的函數關系.
　　例2.設S，S分別為等差數列{a}的前n項的和與前2n項和，若=，求.
　　解：∵{a}為等差數列，∴設S=An+Bn，S=4An+2Bn，
　　則a=2An-