從解題過程中談關于學生解題能力的培養

　　摘 要： 作者從仔細閱讀，審清題意；分析問題，選擇合理的解題方法；回顧與探討解題過程，養成解題后反思的習慣三個方面，談了關于學生解題能力的培養。
　　關鍵詞： 解題能力 審題 解題方法 反思
　　
　　在新課程標準要求下，數學教學不但要重視對學生進行基本知識的傳授，而且要重視培養學生的自主學習能力、動手操作能力、分析解決問題能力、創新能力，等等。而學生自主解題過程正是體現學生能力的過程。因此，在中學教學中，對學生解題能力的培養是一項十分重要的任務。要提高學生的解題能力，除了抓好基礎知識的學習外，更重要的培養途徑就是解題實踐，就是遵循科學的解題過程，有目的、有計劃地引導學生親自參與解題，學會解題，從中獲得能力。下面我按照解題的順序來討論如何培養學生的解題能力。
　　一、仔細閱讀，審清題意
　　很多學生在解題時，想加快解題的速度，往往在閱讀題目時一覽而過，然后提筆就做。實際上這樣不僅不能加快速度，反而會浪費時間。因為你在未能全盤了解題目情況下解題，勢必要回過頭重新讀題。而且，在審題不清的情況下解題，很容易出錯。
　　其實解題的前提是仔細、認真審題。對問題的條件、求解的目標及有關的全部情況進行整體認識，充分理解題意，找出隱含條件，為選擇解法提供決策的依據。
　　二、分析問題，選擇合理的解題方法
　　在審清題意的基礎上，選擇合適的解題方法是解題的關鍵。而在解題過程中，最困難的就是尋求解題思路。尋求解題思路可以有“由因導果”和“執果溯因”兩種不同形式。（1）由因導果。“由因導果”是將“已知”推演到“未知”的思維方法，稱之為綜合法。它是從問題的條件入手進行思考，一般說有三個思維層次:充分利用條件;善于轉化條件;積極創造條件。（2）執果溯因。“執果溯因”是將“未知”歸結為“已知”的思維方法，稱之為分析法。它是從問題的結論入手，一般來說也有三個思維層次:回想、聯想和猜想。
　　而在解題過程中，最主要的是培養學生運用數學思想方法來解題。常用的數學思想方法主要有：數形結合的思想、分類討論的思想、函數與方程的思想、轉化思想。
　　1.數形結合的思想。在高中數學中，有些題型借助圖像能夠使問題變得直觀，從而很容易地找到問題的解法。更有的題目直接利用圖像就可以得到解決。
　　例如：求方的圖像是傾斜角為45°的直線，其中b為直線在y軸上的截距。平移，查看圖像發現當變量b取不同值時，方程的解也不同。
　　此題如果用代數方法解則比較麻煩，而利用圖解，則答案顯而易見。
　　2.分類討論的思想。在解答某些問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐個討論。例如求等比數列前n項和中，需討論q=1或q≠1的情況。還有某些含參數的問題，比如上面的例題：求方b解的個數，我們也要討論b的取值來確定根的個數。
　　3.函數與方程的思想。函數的思想指的是利用函數的定義及性質去分析問題、轉化問題和解決問題。經常應用的性質有函數的單調性、奇偶性、周期性等。比如說我們可以利用函數的單調性求代數式的最值。
　　方程的思想是從要解決的問題的數量關系入手，通過數學語言將問題中的條件化為數學模型，可以是方程、不等式或是方程組和不等式組，然后通過對方程及不等式求解，從而使問題得到解決。
　　4.轉化的思想。通過不斷轉化，將不熟悉的內容轉化成熟悉的內容，將復雜的題目轉化成簡單的題目。比較常見的有三角函數部分，我們經常將“切化弦，割化弦”進行化簡計算。
　　在解題過程中靈活運用數學思想，能培養學生的求簡意識，培養學生敏銳的觀察力，特別是數形結合思想的運用，能培養學生的創造性思維。
　　三、回顧與探討解題過程，養成解題后的反思習慣
　　解題后的回顧與反思、分析與研究就是對解題的結果和解題的方法及過程進行反思。對解題中運用的主要思想及類同問題的解法進行概括、推廣，從而幫助學生從中提煉出數學的基本思想和基本方法，成為以后解類似問題的有力工具。
　　解題后的回顧，包括檢驗結果、討論解法和推廣三個方面。
　　1.檢驗結果。主要檢驗結果是否正確，推理是否有依據，解題過程是否詳盡。檢驗是完成解題過程的一個重要環節。我們可以來看這道例題。
　　例：求函數y所以函數y顯然不成立。
　　像上面這道例題，如果我們不驗證“取等”成立條件時，是很難發現解題的錯誤性的，那么對于類似的要利用基本不等式解的題目時，就一定要注意驗證結論是否成立。
　　2.討論解法。主要是改進解法或尋求其他不同的解法，分析解法的特征、關鍵和主要思維過程。這將有利于開拓思維、積累經驗、整理方法，有助于增強思維的靈活性和發展提高解題能力。
　　對于上例這類不能利用基本不等式取到最值的問題，我們可以利用換元的思想，然后利用函數的性質解題。對上例我們可以令t圍內的單調性就可以求出y的最值了。像這類方法我們稱為“構造法”。而此處我們正是應用了構造法中的構造函數的方法，利用函數的性質解決了問題。
　　3.推廣。我們討論解法，總結方法及解題思想之后，要將方法及思想進行推廣。推廣可分為兩種。（1）方法的推廣。比如說上例，對所有類似這樣不能利用基本不等式取到最值的問題，都可以嘗試利用“構造函數”的方法解決。（2）思想的推廣。例如對“構造法”的思想，除了構造函數外，我們還可以構造新的數列，構造方程等。這類推廣比較困難，一般學生要經過積累才能有所感悟。
　　解題后的推廣，也是培養學生積極思維、發明發現、創造突破能力的有效途徑。如果能讓學生養成習慣，就可以使學生在解題訓練中跳出“題海”，通過少而精的練習，收到很好的效果。
　　總之，培養學生的解題能力要通過掌握科學的解題程序、掌握解題的策略和方法、技巧；要通過教師引導下的主動參與活動。因此，要使學生的解題能力達到較高水平，并上升為一種創造才能，就要在整個的教學的過程中，始終都要注意培養和發展學生解題能力的各種因素，注意提高學生的整體素質。只有這樣，解題能力的提高才有根基和源泉，解題的功底才扎實。
　　
　　參考文獻：
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