復合電場中曲線極值的研究

　　摘 要： 本文作者結合自身的教學實踐，介紹了復合電場中曲線極值的研究。
　　關鍵詞： 復合電場 曲線 極值
　　
　　運動的合成與分解是研究復雜運動的重要方法，在研究比較復雜的運動時，常常采用分解的方法，將運動看做是兩個或幾個比較簡單的運動組成的，使問題容易得到解決。在應用分解的方法時注意運動的獨立性原理，這是物體運動的一個重要特性，即一個物體同時參與幾個運動，各個運動都可看做是獨立進行的，它們互不影響。
　　微元法是分析連續過程積累的一種重要方法，其精髓就是把確定的研究對象分割為無限多個無限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，從而認識整體或全過程的性質和規律。這實質上是從復合到單一，從單一到復合的分析與綜合思維方法。
　　在高中專題復習中常遇到復合場的極值問題的求解，如最遠距離，磁感應強度的最大值，等等，通常均可利用分解的方法和微元法來加以分析和探究。
　　例1：在空間有相互垂直的勻強電場E和勻強磁場B，一電子從原點釋放，求電子在y軸方向前進的最大距離。（不計電子所受重力，已知電子電荷為e，質量為m）
　　分析：對電子在任一位置的受力進行分析，電子受到豎直向上的電場力eE及與速度垂直的洛倫茲力Bev。將電子的速度分解為水平方向的速度v和v豎直方向的速度，同時將洛倫茲力也分解為水平方向的作用力和豎直方向的作用力。而水平方向的洛倫茲力是由于豎直方向的速度產生的，豎直方向的洛倫茲力是由于水平方向的速度產生的。因此水平方向的洛倫茲力為Bev，而豎直方向的洛倫茲力為Bev。
　　由牛頓第二定律得：eE-Bev=ma；Bev=ma。
　　因此由微元法得：Bev△t=ma△t。故有∑Bev△t=∑ma△t。
　　設電子到達最高點時的速度為v，即Bey=mv=mv。全過程中只有電場力做功，根據動能定理得：eEy=mv。由以上各式得：y=。
　　點評：很多學生看到本題，第一感覺是無從下手，題目求解的是位移極值，而速度包括兩個方向的速度分量都是變量，顯然不能使用常規的位移公式求解，到此似乎已走投無路。然而根據綜合電場力和洛倫茲力的受力特征，不難發現兩個方向都有牛頓第二定律的表達式，把ma表達成m，那么利用v△t的微元累積獲得y，至此思路迅速柳暗花明。
　　例2：空間勻強電場的場強大小為E、方向沿著y軸負方向，勻強磁場的磁感應強度大小為B、方向垂直xOy平面指向紙內。有一質量為m、電量為q的帶正電的粒子（不計重力），從O點出發開始計時，沿x軸正方向以初速度v=射入場區。求：
　　①帶電粒子能夠到達離軸最遠的距離。
　　②從開始到t=的時間內，粒子沿x軸運動的距離。
　　③在t=時刻撤去電場，粒子在以后的運動中，還受到與速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k為已知常數）。則電場撤去后粒子還能發生的位移大小。
　　分析：帶電粒子在復合場中的運動可看成是兩個分運動的合運動，一個是沿x軸正方向以速度v做勻速直線運動；一個是在xOy平面內受洛倫茲力作用以速率做勻速圓周運動。由
　　Bqv=qE?圯v=，v=v-v=。
　　①設帶電粒子以速v在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R。
　　由Bqv=m?圯R==。
　　②從開始到t=的時間內，粒子沿軸運動的距離s=vt=。
　　③帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T=，當t==T時，帶電粒子恰好回到x軸處，分運動的速度v與v的方向相同，此時帶電粒子的速度仍為v，方向沿x軸正方向。撤去電場后，洛倫茲力與阻力始終垂直。設某瞬時的速度為v，加速度為a，根據牛頓第二定律：
　　=ma，
　　即a=。
　　取微小時間△t，速度變化量為：
　　△v=a△t=△t=v△t，
　　即v△t=。
　　則電場撤去后粒子還能發生的位移大小：
　　s=∑v△t=∑。
　　點評：本題巧妙地把v=分解成兩份的水平分速度，一份實現了豎直方向的受力平衡，即水平方向做勻速直線運動；而另一份則用于完成勻速圓周運動，兩個方向的分運動互相獨立。
　　例３：兩塊面積很大、互相平行又相距較近的帶電金屬板，相距為d，兩板間的電勢差為U。同時，在這兩板間還有方向與均強電場正交而垂直紙面向外的均強磁場。一束電子通過左側帶負電的板上的小孔，沿垂直于金屬板的方向射入。為使該電子束不碰到右側帶正電的板，問所加磁場的磁感應強度至少要多大？
　　解析：在電場力和洛倫茲力的作用下，進入兩板間的電子，初速度為零。設想此時電子具有沿豎直方向的速度正負，合為零，正速度所引起的洛倫茲力正好與電子在兩板間所受的電場力相平衡。
　　照此設想，電子在其后的運動過程中將受三個力，這三個力所相應的加速度引起電子速度的改變。它和原來電子向下運動的速度的合成正是一種勻速率圓周運動模式，而電子向上運動這個分速度沒有改變，也就是說它所引起的洛倫茲力的電場力始終保持平衡。于是，電子的運動結合起來，可視為是一個速率為v的向上運動和一個速率為v的勻速圓周運動的合成。
　　點評：本題同樣有多種分析解法，巧妙地利用洛倫茲力不做功的特點，并采用牛頓第二定律在y方向進行微元累積，從而獲得相對應的臨界條件；也可巧妙地將粒子的運動分解成在同一平面內的勻速圓周運動與勻速直線運動的合成，在y方向引入+v和-v，使電子受到+v引起的洛倫茲力與板間的電場力相平衡，即向上勻速直線運動，而-v實現豎直平面內的勻速圓周運動，即巧妙地運用了運動的合成與分解知識來處理該復雜的運動過程。
　　以上幾道例題都是帶電粒子在復合場中做曲線運動的典型例題。從中我們不難發現，對于曲線運動，一般采用分解的方法處理問題。而利用運動的分解和微元法求曲線運動中的最值問題，正是這類題型的亮點和難點，也充分考查了學生綜合分析能力、邏輯推理能力、探索能力和嚴謹的程序思考能力，以及獨創能力，是一類綜合性很強的試題，值得老師和學生認真研究和思考，從而達到舉一反三的目的。