雙臨界問題

　　摘 要： 作者以實例結合自身的教學實踐，介紹了雙臨界問題的教學方法。
　　關鍵詞： 彈簧 接觸彈力 摩擦力 雙臨界問題
　　
　　一個物理問題中，往往會涉及幾個物理過程，不同的物理過程，遵從不同的物理規律。物理過程有先有后，在前一個物理過程與后一個物理過程之間，必然存在這樣一個狀態——臨界狀態：此前為一個物理過程，此后是另一個物理過程，所以臨界狀態是從一個物理現象(狀態、過程)變化為另一個物理現象(狀態、過程)時所出現的轉折點。
　　而雙臨界問題，是指有兩個或兩個以上的臨界狀態存在，這些臨界狀態要么存在某種特殊關聯，要么在產生順序上存在先后性，正是這種關聯或先后性加大了雙臨界問題的難度。一般情況下，雙臨界問題由繩、彈簧、接觸彈力、摩擦力等要素組成，對這些要素相關的力的特點必須非常熟悉，才能正確分析雙臨界問題。同時，還要善于使用窮舉法、假設法等方法進行邏輯推理。我在此對幾種要素的組合模型進行了分析。
　　一、彈簧和接觸彈力的雙臨界
　　例1.如圖1所示，小車沿水平面做直線運動，小車內光滑底面上有一物塊被壓縮的彈簧壓向左壁，小車向左加速運動。物塊質量為1kg，彈簧原長16cm，小車內底面長12cm，彈簧勁度系數為2N/cm，（1）若小車向左加速度6m/s，則物塊受到車左壁給的彈力N和彈簧的彈力N的大小如何？（2）若小車向左加速度10m/s，則物塊受到車左壁給的彈力N和彈簧的彈力N的大小如何？
　　圖1
　　這里的接觸彈力臨界是指物塊和小車左壁的接觸與分離，而彈簧的臨界是指彈簧長度變和不變的臨界，彈簧和接觸彈力雙臨界的特點是：（1）只要物塊和小車左壁接觸，那么彈簧的長度必然不變，彈簧的形變量不變，這就意味著彈簧彈力不變，變化的只是物塊和小車左壁的彈力。（2）只要物塊和小車左壁的分離，物塊和小車左壁的彈力總為零，彈簧的長度必然改變，從而彈簧的形變量改變，這就意味著彈簧彈力發生變化。
　　不難看出，彈簧和接觸彈力的臨界產生了特殊的關聯，使這兩個臨界有一個共同的臨界點：物塊和小車左壁接觸，但彈力為零，彈簧長度不變。對物塊進行受力分析，如圖2所示。N-N=ma ①式，令，N=0，N=k(x-x)=2×(16-12)=8(N) 代入①式，得臨界加速度a=8m/s。
　　圖2
　　（1）若小車向左加速度6m/s，小于臨界加速度8m/s，此時彈簧彈力不變N=8N，由①式得N=N-ma=8-a ②式，注意，這是一個差式表達式。當a≤8m/s，N≥0，N=8-a=8-6=2N。
　　（2）當a＞8m/s，由②式N＜0得，這說明N的方向與圖2中的方向相反，這是違背彈力方向的規則的，是不可能的。因此，此時的N是不存在的，這意味著物塊和小車左壁已經分離了，彈簧必然繼續被壓縮，彈簧彈力發生變化。令N=0，則N=ma=1×10=10N。
　　二、彈簧和摩擦力的雙臨界
　　例2.如圖3所示，在水平面上質量為1kg的物體A拴在一被水平拉伸的彈簧的一端，彈簧的另一端固定在小車上。當它們都處于靜止時，彈簧對物塊的彈力大小為3N。物體A與小車間的動摩擦因素為μ=0.5，試求：（1）若小車以a=1m/s的加速度水平向右穩定地做勻加速運動時，物體A受到的摩擦力和彈簧彈力。（2）若小車以a=5m/s的加速度水平向右穩定地做勻加速運動時，物體A受到的摩擦力和彈簧彈力。（3）若小車以a=10m/s的加速度水平向右穩定地做勻加速運動時，物體A受到的摩擦力和彈簧彈力。
　　圖3
　　從上一問題我們可以看出，有彈簧存在的臨界問題的特點是：物體不（相對）動，彈簧彈力不變；物體（相對）動，彈簧彈力變化。與摩擦力臨界相結合后，其與摩擦力臨界的關聯是：（1）物體不（相對）動，彈簧彈力不變，靜摩擦力變化，但必須小于最大靜摩擦力。（2）物體（相對）動，彈簧彈力變，靜摩擦力不變，等于最大靜摩擦力。
　　設摩擦力的方向水平向左，受力圖如圖4所示，F-F=ma ①式，令F=3N，有F=3-a，由于-μF≤F≤μF，解得-2m/s≤a≤8m/s，當F=0，解得a=3m/s。
　　圖4
　　（1）當-2m/s≤a＜3m/s時，F≥0，彈簧彈力不變，F=3N，靜摩擦力大小變化，方向水平向左。由①式代入數據得：F=4N。
　　（2）當3m/sa＜a≤8m/s時，F＜0，彈簧彈力不變，F=3N，靜摩擦力大小變化，方向水平向右。由①式代入數據得：F=-2N。
　　（3）當a＞8m/s時，F＜-5N，其大小超過了最大靜摩擦力，物體將相對小車滑動，使摩擦力保持為最大值不變，方向水平向右；彈簧將繼續被拉伸，彈簧彈力增加，F=F+ma=-5+a=5N，靜摩擦力大小不變為F=5N。
　　三、摩擦力和摩擦力的雙臨界
　　例3.如圖5所示，質量M=1kg的木板靜止在粗糙的水平地面上，木板與地面間的動摩擦因數μ=0.1，在木板的左端放置一個質量m=1kg、大小可以忽略的鐵塊，鐵塊與木板間的動摩擦因數μ=0.4，取g=10m/s，若在鐵塊上的右端施加一個大小從零開始連續增加的水平向右的力F，通過分析和計算后，試判斷是鐵塊與木板間先滑動，還是木板與地面間先滑動？
　　摩擦力和摩擦力的雙臨界問題關鍵是分析判斷哪一個接觸面先滑動。面對本題所涉及的問題，應用窮舉法分析，不外乎兩種情況。
　　圖5
　　（1）設鐵塊與木板間先滑動
　　不難求得，鐵塊與木板間的最大靜摩擦力為4N，木板和地面間的最大靜摩擦力為2N。鐵塊與木板間先滑動的話，木板必然不動，鐵塊右端施加的水平向右的力F至少應當等于鐵塊與木板間的最大靜摩擦力為4N。可是，鐵塊與木板間的摩擦力為4N，已經超過了木板和地面間的最大靜摩擦力為2N，木板不可能不動。故而，這種情況不可行。
　　（2）設木板與地面間先滑動
　　木板與地面間先滑動的話，鐵塊與木板間必相對靜止，也即鐵塊和木板一起運動，可看做整體，而木板和地面間的最大靜摩擦力為2N，水平拉力至少為2N。由于水平拉力為2N時，系統勻速運動，鐵塊和木板間的摩擦力也為2N，小于最大值4N，是可行的。
　　現在，結論是木板與地面間先滑動，而鐵塊與木板間后滑動。看來這種先假設后分析的方法是解決這種問題的有效方法。
　　四、繩與繩的雙臨界
　　例4.如圖6所示，兩根線系著同一小球，兩根線的另一端連接于豎直軸上的A、B兩點，其中AC長度為l=2m。今使小球繞豎直軸以角速度ω勻速轉動而使兩線均被拉直，分別與桿夾30°和45°角，則轉動角速度ω的取值范圍應如何?
　　我們仍用窮舉法，兩根繩的松緊狀態組合共有四種情況：
　　圖6
　　（1）繩AC、BC皆松弛。
　　直接排除。
　　（2）繩AC松弛，繩BC繃緊。
　　從幾何關系上，不難發現，這種情況下，繩BC與豎直方向的夾角一定大于45°。
　　（3）繩BC松弛，繩AC繃緊。
　　同樣從幾何關系上看，在這種情況下，繩AC與豎直方向的夾角一定小于30°。
　　（4）繩AC、BC皆繃緊。
　　從幾何關系上看，繩BC與豎直方向的夾角一定等于45°，繩AC與豎直方向的夾角一定等于30°。
　　而使兩線均被拉直，分別與桿夾30°和45°角的臨界狀態就是：（1）繩BC拉直，但拉力為零，繩AC繃緊；（2）繩AC拉直，但拉力為零，繩BC繃緊。根據這兩個臨界狀態，就可以解出角速度ω的上下限。
　　五、繩和摩擦力的雙臨界
　　例5.如圖7所示，V形細桿AOB能繞其對稱軸OO′轉到，OO′沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉軸間的夾角均為α=45°。兩質量均為m=0.1kg的小環，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為l=1.2m、能承受最大拉力F=4.5N的輕質細線連結，環與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍。當桿以角速度ω轉到時，細線始終處于水平狀態，取g=10m/s。（1）求桿轉動角速度ω的最小值；（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，寫出此過程中細線拉力隨角速度變化的函數關系式。
　　
　　圖7
　　這里，困惑學生的問題是：繩的彈力是可變的，桿對小環的摩擦力也是可變的，兩者的變化有關系么？繩松緊的臨界與摩擦力的臨界又有著怎樣的關聯？
　　仍用窮舉法么？這里不需要。我們回顧一下，如何判斷彈力的有無呢？移物法。將細線去掉，觀察小環是否會相對桿向上移動。如會，則繩繃緊，繩中有彈力，如不會，則不移繩，而是移去小環，由于是輕繩，重力不計，故繩也不動，繩中必無彈力。
　　簡而言之，移去繩，小環相對桿向上移動，則繩中有彈力，摩擦力必為最大靜摩擦力，方向沿桿向下。移去繩，小環相對桿靜止，繩中必無彈力。此時，只剩下摩擦力的臨界問題。
　　按角速度從小到大的順序，
　　①在角速度很小時，移去繩，小環沿桿下移，促使繩間距變短，形成正反饋，小環將不斷下移。
　　②如果增大角速度，移去繩，小環剛好不下移，靜摩擦力沿桿向上，為最大靜摩擦力。這是題目第一問的臨界條件。
　　③再增大角速度，移去繩，小環剛好不沿桿上滑，靜摩擦力沿桿向下，為最大靜摩擦力。從此開始，繩中產生彈力。這是題中第二問的臨界條件之一。
　　④如果角速度更大，移去繩，小環必沿桿上滑，故繩中必有彈力，摩擦力將保持為最大靜摩擦力，方向沿桿向下。繩中彈力會隨角速度的增加二增加，直至達到繩斷裂的臨界點：F=4.5N。
　　六、繩、摩擦力和摩擦力的多臨界
　　例6.如圖8所示，水平轉盤可繞豎直中心軸轉動，盤上疊放著質量均為1kg的A、B兩個物塊，B物塊用長為0.25m的細線與固定在轉盤中心處的力傳感器相連，兩個物塊和傳感器的大小均可不計。細線能承受的最大拉力為8N。A、B間的動摩擦因數為0.4，B與轉盤間的動摩擦因數為0.1，且可認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。轉盤靜止時，細線剛好伸直，試分析當轉盤的角速度從零開始緩慢增加后，將會出項怎樣的物理現象（g取10m/s）。
　　需要我們解決的問題是：當轉盤的角速度從零開始緩慢增加，是繩先斷還是A、B間先相對滑動，還是B與轉盤間先相對滑動？
　　圖8
　　（1）令繩不存在，假設A、B間先相對滑動，B與轉盤間不相對滑動（也可以先假設B與轉盤間先相對滑動，而A、B間不相對滑動），那么f=4N，對A的受力圖如圖9所示。f=mωr，代入數據解得ω=4rad/s。
　　圖9 圖10
　　（2）令繩不存在，假設B與轉盤間先相對滑動，而A、B間不相對滑動，那么AB兩物體作為整體的受力如圖10所示。那么f=2N，f=(m+m)ωr，代入數據解得ω=2rad/s。
　　比較ω、ω，ω＜ω，當轉盤的角速度從零開始緩慢增加到ω=2rad/s，B與轉盤間將先相對滑動，在此之前繩中未出現彈力。在轉盤的角速度超過2rad/s后，由于B與轉盤間一旦要產生相對滑動，繩將產生阻止相對滑動的彈力，從此彈力便存在了，而B與轉盤間的摩擦力保持為最大靜摩擦力f=2N，且方向指向圓心。
　　此后，新出現的問題是，是繩先斷還是A、B間先相對滑動？仍然用窮舉法，不外乎兩種情況：①繩先斷②A、B間先相對滑動，上面已經討論過②的情況，在ω=4rad/s時出現。
　　（3）假設繩先斷，而A、B間相對靜止。對AB兩物體作為整體的受力如圖11所示。F+f=(m+m)ωr，代入數據解得ω=2rad/s。
　　由于ω＞ω，故A、B間先相對滑動。并且A從B上滑出去。我們立即就想到一個問題：在A從B上滑出時，繩中彈力突變為零么？由于在步驟（2）中，ω的求解其實只與轉盤間的動摩擦因數有關，所以只要加速度大于ω＝2rad/s，繩中就存在張力。
　　圖11圖12
　　（4）對B進行受力分析，如圖12所示。F+f′=(m+m)ωr，注意，f′=1N，代入數據解得ω=3rad/s。當加速度超過這個數值后，繩將斷裂，B將飛出去。