利用漢諾塔游戲復習等比數列

　　摘 要： 等比數列是高考中重點考查知識，主要考查等比數列的通項公式，前n項和公式。通過讓學生進行漢諾塔游戲復習等比數列，使學生更投入，理解更深刻，且學會將等比數列的知識應用于日常生活中，體會數學來源于生活并應用于生活的思想。
　　關鍵詞： 等比數列 漢諾塔游戲 通項公式 前n項和公式
　　
　　教材：普通高中課程標準試驗教科書數學必修5（人民教育出版社）
　　課題：等比數列復習課
　　教學目標：
　　知識與技能目標：
　　（1）進一步理解等比數列的通項公式，以及前n項和公式
　　（2）掌握等比數列的應用
　　過程與方法目標：
　　（1）培養問題解決能力及合作交流能力
　　（2）培養邏輯推理和思維能力
　　（3）提高運算能力和轉化能力
　　情感態度與價值觀目標：
　　（1）通過解決問題，感受等比數列的便利
　　（2）體會數學來源于生活并應用于生活
　　教學模式：講授式
　　教學重點：等比公式的通項公式和前n項和公式的求解
　　教學難點：等比公式的通項公式和前n項和公式的求解
　　教學準備：多媒體課件
　　教學程序：回顧總結—游戲時刻—感悟反思—意猶未盡
　　教學過程：
　　（1）回顧總結（約7分鐘）
　　教師：我們已經學習過等比數列的相關知識，下面請同學們相互討論，填好以下表格。
　　（2）游戲時刻（約25分鐘）
　　教師：同學們對之前的知識掌握得不錯，下面老師就和大家一起放松一下，玩一個游戲——漢諾塔。大家知不知道什么是漢諾塔？其實漢諾塔游戲來自一個傳說：傳說在古代印度的貝拿勒斯圣廟里，安放了一塊黃銅板，板上插了三根寶石柱，在其中一根寶石柱上，按自上而下由小到大的順序放有64個金盤，而漢諾塔游戲類似的有三根柱，其中左邊的一根柱上有n個自上而下由小到大的盤子，要求把這n個盤子按規則移到最右邊的柱子，規則如下：1.一次只能移動一個盤子；2.盤子只能在三個柱子上存放；3.任何時候大盤不能放在小盤上面。（教師打開計算機中的漢諾塔游戲。）同學們，老師的電腦上已經安裝了漢諾塔游戲，現在我們進入第一關，有1個盤子，哪個同學想上來闖關？請一位同學上來闖關，其他同學協助他用移動次數最少的方法闖關并記錄下對應的盤數和次數，分別記為n和a。
　　教師：好，時間關系，我們的游戲就玩到這，有興趣的同學可以繼續在課后再闖關。觀察這個數列，大家猜一猜這個數列的通項公式是什么？（停頓）我聽到有許多同學認為是a=2-1，正確嗎？數學是一個嚴謹的學科，即使我們猜測得十分有把握，也不能就此下結論，必須得驗證我們的猜想。該如何驗證？我們先來思考這個問題假設有n（n≥2）個盤子，要把n個盤子移動到第三根柱子，首先該怎么做？（停頓）首先，得把大的盤子移動到第三根柱，在此之前該怎么做才能實現這個目標？先把上面n-1個盤子移動到第二根柱子，此時相當于什么過程？（停頓）其實此時，我們將前n-1個盤子從第一根柱子移動到第二根柱子，就相當于是闖了第n-1關，因此所移動的次數是a次。其次，就可以輕松地將最大的盤子移動到第三根柱子上了。最后，只要將第二根柱子的n-1個盤子移動到第三根柱子既可完成這次闖關了，這里也相當于闖了第n-1關，因此移動的次數是a次。則由此過程可得結論：a=2a+1。由此可得遞推公式a=1a=2a+1（n≥2），如何求解出a？（讓學生思考，教師在教室巡視協助，讓學生上臺演示結果。）將a=2a+1轉化為a+1=2（a+1），即可將問題轉化為求首項為a+1=2，公比為2的等比數列{a+1}的通項公式，利用已學的等比數列的知識便可得a=2-1，同學們的結果是否一致？
　　如果我們闖過了n關，一共移動了多少次盤子？（讓學生思考完成）事實上，只要把每一關的移動次數相加即可得到答案，即相當于求解這個數列的前n項和。令b=a+1，則{b}為首項為2，公比為2的等比數列，b=b?2=2，由等比數列前n項和公式可得s===2-2，則s=s-n=2-2-n為所求。
　　如果我們要把貝拿勒斯圣廟里的第一根寶石柱中的64個金盤移到第三根寶石柱至少要移動多少次？同學們課下一起討論完成。
　　（3）感悟反思（約5分鐘）
　　教師：剛剛我們解決漢諾塔游戲中所遇到的問題時用到了哪些知識？（讓學生回答，教師再總結。）
　　首先，我們用到了兩種方法求解數列的通項公式：1.觀察法；2.轉化為已知數列求和，在此轉化為等比數列求和。至此，我們已經學習了四種求解數列通項公式的方法：1.觀察法；2.化為等比數列、等差數列；3.利用a=s-s；4.利用遞推公式或遞推關系，其中等差數列遞推公式：a=a （n=1）a=a+d （n≥2），等比數列遞推公式：a=a （n=1）a=aq （n≥2）。
　　其次，運用了前n項和公式解決問題。
　　等比數列前n項和公式：s=n?a（q=1）s=（q≠1）
　　等差數列前n項和公式：s==na+?d
　　最后，掌握求解形如a=a（n=1）a=qa+b（n≥2）的數列{a}的通項公式的方法。
　　由λ=可得λ=，可得a+λ=a+λ（n=1）a+λ=q?（a+λ）（n≥2），則{a+λ}為首項為a+λ，公比為q的等比數列，由等比數列通項公式可得a=（a+λ）?q-λ即為所求。
　　（4）意猶未盡（約三分鐘）
　　作業：
　　1.已知兩等差數列{a}和{b}的前n項和分別為S和T，若=對一切n∈N成立，求（1）的值；（2）的值。
　　2.從盛滿一升酒精的容器中倒出升，然后用水填滿，再倒出升，又用水填滿，這樣進行5次，則容器中剩下的純酒精升數為多少？
　　
　　參考文獻：
　　［1］人民教育出版社課程教材研究所.中學數學課程教材研究開發中學.普通高中課程標準試驗教科書數學必修5.北京：人民教育出版社，2010.4，（12）.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文