握手定律的探究及妙用

　　摘 要： 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有時(shí)只要掌握好一種方法，就能解決一大類問題。一種好的方法，不但能夠?qū)栴}由難變易，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力及探索精神。本文介紹了握手定律的探究及妙用。
　　關(guān)鍵詞： 握手定律 探究 妙用
　　
　　一、問題引入
　　1．直線兩兩相交，兩條直線1個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多3個(gè)交點(diǎn)，那n條直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)？
　　2．過任意兩點(diǎn)畫1條直線，過三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)最多畫3條直線，那過n個(gè)點(diǎn)中的兩點(diǎn)最多畫幾條直線？
　　這是初中學(xué)生在數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到的習(xí)題。對(duì)于具體的數(shù)字，學(xué)生可以通過試驗(yàn)得到答案。但是推廣到n，這對(duì)沒學(xué)過排列組合的初中學(xué)生來說還是很困難的。
　　二、定律探究
　　我們先來看下面這個(gè)問題：一次同學(xué)聚會(huì)，任意兩人都相互握手，共握了15次手，問共來了多少人？
　　探究一：兩個(gè)人握1次手，三個(gè)人握（1+2）次手，四個(gè)人握（1+2+3）次，五個(gè)人握（1+2+3+4）次，六個(gè)人握（1+2+3+4+5=15）次，依此類推得到規(guī)律：n個(gè)人兩兩握手，共握（1+2+3+4+……n-1）=n（n-1）/2次。所以：n（n-1）/2=15，解得n=6。
　　探究二：設(shè)共有n個(gè)人，每一個(gè)人都會(huì)其他的（n-1）個(gè)人握手，但這樣算，顯然把每個(gè)交點(diǎn)都算了兩次，所以需要除以2，即：n（n-1）/2條。就得到規(guī)律：n個(gè)人兩兩握手，共握n（n-1）/2次手。所以：n（n-1）/2=15，解得n=6。
　　由以上的探究可得“握手定律”：n個(gè)人兩兩握手，共握n（n-1）/2次手。
　　三、問題解決
　　我們巧妙地將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由握手定律很容易解決開始兩個(gè)問題。
　　解決一：n條直線相當(dāng)于n個(gè)人，兩兩相交相當(dāng)于兩兩握手，直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是握手的次數(shù)。即那n條直線最多有n（n-1）/2個(gè)交點(diǎn)。
　　解決二：n個(gè)點(diǎn)相當(dāng)于n個(gè)人，過兩點(diǎn)畫一條直線相當(dāng)于兩人握手，過n個(gè)點(diǎn)中的兩點(diǎn)最多畫n（n-1）/2個(gè)條直線。
　　四、定律的妙用
　　在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中許多習(xí)題都可用握手定律來解決，我們要對(duì)握手定律深入理解，用得熟練，巧妙地轉(zhuǎn)化，有時(shí)會(huì)取得意想不到的效果。
　　例1：在平面上畫100條直線，這些直線最多能形成多少個(gè)交點(diǎn)？
　　解析：根據(jù)握手定律可知100條直線最多能形成交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：100×（100-1）/2=4950。
　　例2：數(shù)一數(shù)，下圖中共有幾個(gè)銳角?
　　解析：根據(jù)握手定律5×（5-1）/2=10，所以共有10個(gè)銳角。
　　例3：兩地之間共8個(gè)站（包括起終點(diǎn)），每?jī)烧局g票價(jià)不同，問有多少種不同的票價(jià)？有多少種不同的車票？
　　解析：根據(jù)握手定律，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間就有一條線段，不同的線段就有不同的票價(jià)所以共有8×（8-1）/2=28種不同票價(jià)。由于從A到B與從B到A票價(jià)相同，但車票不同，所以有56種不同的車票。
　　例4：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，AD是△BC的中線，E是AD的中點(diǎn)。F是AC的中點(diǎn)，問圖中有幾對(duì)相似的三角形？
　　解析：圖中共有7個(gè)等腰三角形，任意兩個(gè)三角形都是一對(duì)相似，根據(jù)握手定律可得有7（7-1）/2=21（對(duì)）。
　　例5：若正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，則圖中共有多少對(duì)面積相等的三角形？如果把正方形改為矩形呢？改為菱形呢？
　　解析：三角形面積為正方形面積二分之一的4個(gè)中面積相等的三角形共有4×（4-1）/2=6（對(duì)），面積為正方形面積四分之一有4個(gè)中面積相等的三角形也共有4×（4-1）/2=6（對(duì)），所以圖中共有12對(duì)面積相等的三角形。
　　例6：一個(gè)9×11個(gè)小矩形組成大矩形一共有多少個(gè)矩形？（）
　　A.2376 B.1188 C.2970 D.3200
　　解析：在9×11大矩形的長(zhǎng)邊上有10個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間都有一條線段，據(jù)握手定律可知有10×（10-1）/2=45條線段。在9×11大矩形的長(zhǎng)邊上有12個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間都有一條線段，根據(jù)握手定律可知有12×（12-1）/2=66條線段。
　　所以，一個(gè)9×11個(gè)小矩形組成大矩形一共有45×66=2970個(gè)矩形。此題選C。
　　例7：初一四班共有50人，其中有5個(gè)班干部，老師想從班上任意選2人參加課外活動(dòng)，每個(gè)人被選中的可能性相同，剛好選到的2人都是班干部的概率是多少？
　　分析：此題看起來很簡(jiǎn)單，但對(duì)初中學(xué)生來說要做對(duì)還是不容易。根據(jù)握手定律50人中任意兩人握手共握50×（50-1）/2=1225次，但5個(gè)班干部任意兩個(gè)握手共握5×（5-1）/2=10次。這樣概率就好求了。
　　解析：50人中任意選2人共有50（50-1）/2=1225次選法，兩個(gè)人中恰好都是班干部的有5×（5-1）/2=10種選法，而每個(gè)人被選中的可能性相同，所以剛好選到的是班干部的概率是10/1225=2/245。
　　總之，握手定律在初中學(xué)生還沒有學(xué)排列和組合時(shí)，應(yīng)用非常廣泛。如果巧妙地應(yīng)用握手定律，不但能使許多難題巧妙化解，而且能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生觀察能力及探索能力得到進(jìn)一步的提高。
　　以上是我工作以來積累的一些經(jīng)驗(yàn)，望各位同仁批評(píng)指正。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文