含參數一元二次不等式模型分類解法

　　摘 要： 含參數不等式的求解問題一直是高中數學的一個難點，求解這類問題，需要學生具有一定的分析能力和掌握相應的解題技巧.本文先介紹含有一個參數不等式求解的幾個基本模型，然后介紹含有多個參數一元二次不等式的求解模型.
　　關鍵詞： 參數 二元二次不等式 模型 分類策略
　　
　　所謂含參數不等式，就是指除含未知數之外還含有參數的不等式.此類不等式，往往因參數的取值范圍不同，解集也不同.這類問題是中學數學的難點之一，學生對其常常難以駕馭，因此有必要研究其解法.本文重點討論形如ax+bx+c＞0（ax+bx+c＜0）一元二次不等式模型，談談分類策略及解題方法，供大家參考.
　　一、含有一個參數的一元二次不等式模型
　　模型1：當含參數的一元二次不等式的二次項系數為常數，且與之對應的一元二次方程有兩解，但不知道兩個解的大小時，需要對解的大小進行討論.
　　例1：求不等式x+（1-a）x-a＜0的解集.
　　解：解方程x+（1-a）x-a=0
　　得兩根x=-1，x=a.
　　根據函數y=x+（1-a）x-a開口向上的特點分類討論-1與a大小：
　　①當a＜-1時，不等式的解集為{x|a＜x＜-1}；
　　②當a=-1時，不等式的解集為?準；
　　③當a＞-1時，不等式的解集為{x|-1＜x＜a}.
　　模型2：當含參數的一元二次不等式的二次項系數為常數，但不知道與之對應的一元二次方程是否有解時需要對判別式進行討論.
　　例2：求不等式x-2x+a＞0的解集.
　　解：△=4-4a
　　①當△＜0時，即a＞1，不等式的解集為R；
　　②當△=0時，即a=1，不等式的解集為{x|x≠1}；
　　③當△＞0時，即a＜1，不等式的解集為{x|x＜或x＞}.
　　模型3：當含參數的一元二次不等式的二次項系數含有參數時，首先要對二次項系數進行討論，其次要對對應的一元二次方程的判別式進行討論，有時還要對方程的解的大小進行討論.
　　例3：求不等式ax-2ax-3a＞0（a≠0）的解集.
　　解：變形得a（x-2x-3）＞0
　　①當a＜0時，整理得（x+1）（x-3）＜0，不等式的解集為{x|-1＜x＜3}；
　　②當a＞0時，整理得（x+1）（x-3）＞0，不等式的解集為{x|x＜-1或x＞3}.
　　例4：求不等式ax-x+1＞0的解集.
　　解：（1）當a=0時，不等式的解集為{x|x＜1}；
　　（2）當a＜0時，一定有△=1-4a＞0，方程ax-x+1=0有兩個不等實根x=，x=，且x＞x，此時不等式的解集為{x|＜x＜}；
　　（3）當a＞0時，對于方程ax-x+1=0，△=1-4a.
　　①△＜0，即a＞，不等式的解集為R；
　　②△=0，即a=，不等式的解集為{x|x≠2}；
　　③△＞0，即0＜a＜，不等式的解集為{x|x＜或x＞}.
　　由例4這一綜合題可以發現，求解含有參數一元二次不等式模型的核心問題在于分類討論，選擇正確的分類標準，不重不漏才是關鍵.一般步驟為先討論二次項系數，后對判別式進行討論.如果需要的話，還要對根的大小進行比較.含參數的一元二次不等式與不含參數的一元二次不等式，其解題過程實質一樣.
　　二、含有多個參數的一元二次不等式模型
　　模型4：對于一元二次不等式模型中含有多個參數的問題，我們要想最終求出與參數密切相關的問題解，需要結合求方程的根，函數圖像，分類討論等相關知識點，找到參數之間的關系，進行求解.
　　例5：已知不等式ax-bx+1＜0的解集為{x|x＜-或x＞1}，求關于x的不等式x+bx+a＜0的解集.
　　解：因為ax-bx+1＜0的解集為{x|x＜-或x＞1}，所以可以得到ax-bx+1=0有兩個解x=-，x=1，且a＜0，-+1=，-×1=得a=-2，b=-1.求解不等式x+bx+a＜0變成求解不等式x-x-2＜0，原不等式解集為{x|-1＜x＜2}.
　　例6：已知不等式ax+bx+c＞0的解集為{x|x＜-2或x＞3}，求關于x的不等式cx+bx+a＞0的解集.
　　解：因為ax+bx+c＞0的解集為{x|x＜-2或x＞3}，所以可以得到ax+bx+c=0的兩個解x=-2，x=3，且a＜0，-2+3=-，-2×3=得b=-a，c=-6a.求解不等式cx+bx+a＞0變成求解不等式-6ax-ax+a＞0，提取a整理得a（6x+x-1）＜0.由于a＜0，求解6x+x-1＞0，原不等式的解集為{x|x＜-或x＞}.
　　本文由淺入深地介紹了含有參數的一元二次不等式模型的幾種基礎解法.我們可以發現在求解此類問題時，應正確認識問題中的參數，確定不等式的類型，按相應類型不等式的解題方法進行求解，希望能對大家學習含參數一元二次不等式有所幫助.
　　
　　參考文獻：
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　　［3］解兆武.含參數的一元二次不等式的解法［J］.理科考試研究（數學版）.2001，2.
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