一道線性變換初等數學考題解析

　　摘要： 每一年的高考數學試卷中總有一些以高等數學背景立意的題目，此類題視角新穎，能力要求高，既考查考生的思維力水平和繼續學習能力，又體現高等數學與初等數學的鏈接。本文以四川省2009年高考文科第16題為例，分析題目中用到的高等數學線性變換知識點，從不同角度體會其命題立意，使讀者能對此類題目有一個深入的理解。
　　關鍵詞： 線性變換 初等數學 基本概念教學
　　
　　1.試題與背景
　　（四川高考09文）設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f:V→V，a∈V，記a的像為f（a）。若映射f:V→V滿足：對所有a，b∈V及任意實數λ，μ都有
　　f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換，現有下列命題：
　　①設f是平面M上的線性變換，a，b∈V，則f（a+b）=f（a）+f（b）;
　　②若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設f（a）=a+e，則f是平面M上的線性變換；
　　③對a∈V，設f（a）=-a，則f是平面M上的線性變換；
　　④設f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實數k，均有f（ka）=kf（a）.
　　其中真命題是 .（寫出所有真命題的編號）
　　本題以高等代數線性變換定義為背景。線性變換在高等代數中的定義是：設V是數域F上的線性空間，T是V的一個變換，如果對V中任意的向量，和F中任意的數k，都有1）T（+）=T（）+T（）;2）T（k）=kT（）則稱T為V的一個線性變換.
　　可見，一個線性空間V中，若存在一個映射（變換）T，T保持V中任意元素和的映射等于映射的和，數乘的映射等于映射的數乘，即保持映射的線性不變，則可稱T為V的一個線性變換.
　　2.分析與解答
　　分析：由題可知，在平面M上所有向量的集合中，（1）存在映射f:V→V，即a→f（a）;（2）?坌a，b∈V，?坌λ，μ∈R，都滿足f（λa+μb）=λf（a）+μf（b）.其中（1）體現映射封閉，（2）體現線性運算.要求解，則要分析各項是否符合上述條件.
　　解:①若f是平面M上的線性變換，由條件對?坌a，b∈V，?坌λ，μ∈R，有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b）成立。取λ=μ=1，得f（a+b）=f（a）+f（b），可見①真；
　　②取λ=μ=1，任意?坌a，b∈V，由條件可得f（a+b）=a+b+e，而f（a）=a+e，f（b）=b+e，則f（a）+f（b）=a+b+2e，于是f（a+b）≠f（a）+f（b）;證②假；
　　③?坌a，b∈V，?坌λ，μ∈R得
　　f（λa+μb）=-（λa+μb），λf（a）=λ（-a）=-λa，μf（b）=μ（-b）=-μb，又
　　λf（a）+μf（b）=-（λa+μb），于是f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），可證③真；
　　④若f是平面M上的線性變換，由條件對?坌a，b∈V，?坌λ，μ∈R有
　　f（λa+μb）=λf（a）+μf（b）成立。取λ=k，μ=0，得f（k?a+0?b）=kf（a）+0?f（b），整理得f（ka）=kf（a），可證④真；綜上，真命題為：①③④.
　　3.教學啟示
　　線性變換是高等代數中一個高度抽象的知識點，考慮到高中生認知特點和高考要求，高考題往往避免對概念抽象證明，而是把概念與具體情境相聯系.因此，教師應當重視基本概念的教學，應盡可能地創設使學生容易理解的概念情境，讓學生在實例中真正理解并應用.
　　4.同類題目
　　（1）平面直角坐標系中，設V為起點在原點，終點在y=2x上所有向量的集合，對于映射f:V→V，∈V，記的像為f（）。若映射f:V→V滿足：對所有，∈V及任意實數k都有1）f（+）=f（）+f（），2）f（k）=kf（），則f稱為V中的線性變換。現有下列命題：
　　①f是V中線性變換，?坌，∈V，?坌λ，μ∈R，則f（λ+μ）=λf（）+μf（）；
　　②若f（）=+γ，其中?坌∈V，為V中固定向量，則f是V中線性變換；
　　③若f（）=，其中?坌∈V，則f是V中線性變換；
　　④f（）=-，其中?坌∈V，則f是V中線性變換；
　　其中真命題是： .（寫出所有真命題的編號）答案：①③④.
　　（2）設V是空間直角坐標內所有向量的集合，對于映射f:V→V，=（x，y，z），∈V，記的像為f（）。若映射f:V→V滿足：對所有，∈V及任意實數k都有：
　　1）f（+）=f（）+f（），2）f（k）=kf（），則f稱為V中的線性變換.現有下列映射：
　　①f（x，y，z）=（x+y，y+z，z+x）;
　　②f（x，y，z）=（1，xyz，1）;
　　③f（x，y，z）=（0，x+y+z，0）;
　　④f（x，y，z）=（x，y+z，z）.
　　則上述映射可稱為線性變換的是：.答案：①③.
　　（3）記V為所有整系數多項式
　　f（x）=ax+ax+…+ax+ax+a，a，a，…，a∈Z，n∈N
　　的集合，對于映射T:V→V，f（x）∈V，記f（x）的像為T［f（x）］，若映射T:V→V滿足：對所有f（x），g（x）∈V及任意實數k都有
　　1）T［f（x）+g（x）］=T［f（x）］+T［g（x）］，2）T［kf（x）］=kT［f（x）］，則f稱為V中的線性變換。現有下列映射：
　　①T［f（x）］=f（x+1）
　　②T［f（x）］=f（x）+x
　　③T［f（x）］=xf（x）
　　④T［f（x）］=f（x）?f′（x）
　　⑤T［f（x）］=f（x）+f′（x）
　　則可稱為線性變換的映射是：.答案：①③⑤.
　　
　　參考文獻：
　　［1］華南師范大學數學系代數教研室編.高等代數.廣州：華南理工大學出版社，1994，8.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”