實施數學實

　　摘 要： 數學實驗是一種思維實驗和操作實驗相結合的實驗，多媒體技術和網絡技術為其提供了有效的手段。本文結合高中數學新課程實踐，分析了開展數學實驗的一般教學過程和具體操作，并且探討了數學實驗的有關注意事項，闡述了運用數學實驗有效實施過程教學，培養學生數學能力的問題。
　　關鍵詞： 數學實驗 過程教學 能力培養
　　
　　數學實驗是指根據研究目標，在計算機和軟件的幫助下，創設或改變某種數學情境，在某種條件下，通過思考和操作活動，研究數學現象的本質和發現數學規律的過程。這樣就拋開繁瑣、乏味的計算過程，讓學生將有限的精力集中于問題的數學化，較快地掌握其中的數學思想、方法和幾何背景；它讓學生主動探索數學的規律，了解數學理論產生的過程和基礎。能夠提高學生的學習興趣，加深對數學知識的理解。數學實驗通常可分為兩類：一類是以動手操作為主的稱之為操作性實驗，它主要是運用實物、學具、模型、數學媒體等器材和設備，讓學生進行操作、試驗、探索、討論，增強對所學知識的感性認識，得出初步結論。另一類是以動腦思考為主的稱之為思考性實驗，它不需要那么多操作性的工具，在動手的同時，更需要動腦思考，對所學的數學知識或處理的數學問題不斷進行嘗試調整、歸納猜想、反思總結，探索問題的結論（當然還必須通過嚴密的邏輯論證說明結論的正確性）。高中數學新課程注重過程教學，強調落實三維課程目標，恰當運用數學實驗可以彰顯數學學習過程，提高學生的數學綜合能力。
　　一、數學實驗的一般教學過程和教學方法
　　數學實驗教學過程同物理實驗、化學實驗類似，一般地可分為六個階段：
　　1.課前預習——實驗前派發實驗報告表，要求學生事前了解實驗的目標和預習實驗所需的必備知識；
　　2.實驗設計——學生針對問題，設計并實施一定的實驗步驟，清晰地表達問題、體驗問題和理解問題；
　　3.觀察、分析與思考——學生觀察實驗過程、分析實驗結果和思考問題的結論；
　　4.發現或猜想——抽象、概括形成概念或提出假設、猜想；
　　5.適當性檢驗——在新的情境中檢驗所形成的觀念或猜想的適當性和普遍性；
　　6.完成實驗報告——填寫好實驗報告和完成后附的練習題。
　　二、運用數學實驗，彰顯學習過程
　　1.運用實驗形成數學概念，培養學生的探究能力。
　　許多概念或知識都來源于生活生產實踐，因此數學教學應以經驗為基礎的，引導學生從現實經驗中抽象出數學的概念和結構，然后將得到的經驗歸納整理成一個有意義的整體，繼而產生頓悟、理解，逐步形成新的概念或新的知識。教師可以積極引導學生運用相關實物、幾何模型等器材，大膽地去操作、試驗、探討，使數學的學習成為一種主動的探究過程。
　　例如：學習“球面距離”這一概念，盡管在學習“球面距離”之前，我們已經掌握了有關點、線、面之間的距離概念，但它們對學習“球面距離”幫助不大。球面上任意兩點，是不是經過該兩點的大圓劣弧的長最短呢?許多學生對其最小性問題心存疑問，根據學生的實際情況，用微積分知識進行論證顯然是不現實的，若借助實驗手段則能直觀簡潔地給予說明。
　　例1.如圖1，分別以Oi（i=1、2、3…）為圓心，作過點A、B的劣弧（或半圓），易得隨著半徑的增大，其弧長越短，并逐漸趨近于線段AB的長，即兩點的弧長中，以較大半徑的圓所在的弧長較短.利用這一生動直觀的實驗展開探索，使學生對“球面距離”的概念，以及它的最小性有了一個感性上較為明確的認識，同時也增強了學生主動探索問題的能力.
　　2.借助實驗驗證結論，展現探索問題的思路和方法。
　　例2.設A（x，y）為橢圓x+2y=2上的任意一點，過點A作一條斜率為-的直線l，又設d為原點至直線l的距離，r、r分別為點A到橢圓兩焦點的距離.試證明：=常數.
　　略解：設過點A的直線l的方程為y-y=-（x-x）
　　即xx+2yy=x+2y
　　∵x+2y=2，∴xx+2yy=2
　　d==
　　r=（x+1）+y，r=（x-1）+y
　　∴rr=（x-4）
　　∴=（定值）
　　提出問題：在變化的圖形中為什么保持數量關系恒等不變?
　　學生對此缺乏感性認識，即便畫出靜態圖（往往是不正確的），也難以發現蘊含在其中的幾何原理.
　　引入“幾何畫板”輔助教學：師生在網絡教室一起打開課件（如圖2），推測與橢圓相切.
　　驗證：構造動畫使點A沿橢圓運動，這時學生真正看到了隨點A運動時，一直保持和橢圓相切.“測算”距離r、r、d，學生清晰觀察到點A運動時，r、r、d的值被不斷刷新，然而恒為定值.
　　從以上的實驗教學過程中，在師生的共同探究下，展現出了探索問題的思路和方法。在教學中，學生對學習活動的積極參與，營造了問題解決與協作學習的良好的思維情境和氛圍。因此印象也特別深刻，同時也有助于理解數學知識的實質及合情推理與論證推理能力的培養。由學生自己動手，用他們熟悉的、喜歡“玩”的計算機解決幾個經過簡化的實際問題，讓學生親身感受到用所學的數學解決實際問題的酸甜苦辣。在培養學生獨立解決問題的同時，激發他們進一步學好數學的愿望，促成教學的良性循環。
　　3.運用數學實驗，大膽探索科學規律。
　　生活中的許多定理、法則、性質、公式等結論都是在實驗探索的基礎上概括提煉出來的。在數學教學中，我們教師如能發掘學習內容，引導學生用眼去觀察，動手去實驗，用腦去思考，主動去探索，像一個小數學家那樣去提出問題、分析問題、解決問題，從而再現（模擬）數學結論、數學規律的發現過程，那樣不僅使學習生動有趣，而且能促使學生較深刻地領悟數學結論、數學規律的真正內涵，促進學生的數學素質得到不斷提高。新課程提倡教師把教學的重點放在過程中，放在揭示知識形成的規律上，讓學生自己動手實驗，自己去發現數學原理，這樣得出的結論就會理解深刻，容易記牢。新課程也大力提倡學科之間的有機整合，提升學生綜合素養。因此我們不妨繼續對例2進行深化拓展，運用數學實驗把數學與物理有機整合起來，運用數學方法來發現物理規律。
　　探索：“測算”AF和AF與l所成角的大小，并列展示在平臺上，提示學生注意兩角關系，當點A再次運動時，發現這兩角保持相等.說明AF和AF存在反射關系.為了方便進行實驗，過A作l的垂線（法線）l′并標記鏡面，構造點F關于l′的對點F′，結果看到點F′在射線AF上.
　　結論：（橢圓鏡面的光學性質）——焦點發出的光線經橢圓面鏡反射會聚另一焦點.
　　再探索：例題中橢圓x+2y=2改為雙曲線x-2y=2，結論還會成立嗎?重復以上操作，學生驚奇地發現結論是如此相似，還是雙曲線的切線，依然是定值.
　　同樣得出這樣一個光學特性：一焦點發出的光線經雙曲線面鏡反射，反射光線延長線會聚另一焦點。
　　應用：上面從數學動態模擬中探索出隱含在其中的物理光學特征，反過來，我們為什么不能從熟悉的物理現象里抽象出數學本質呢?
　　探照燈原理：從焦點出發的光線經拋物面鏡反射后以平行于其對稱軸的方向射出。
　　數學發現應用：從拋物線上一點出發的兩條射線，一條經過焦點，另一條（位于拋物線內部）平行于對稱軸，則這個角的平分線所在直線必定與該點的拋物線的切線垂直。
　　另外教學中還可以啟發學生給出常數的幾何意義，歸納出過圓錐曲線上一點的切線的畫法。
　　總結：從上面的過程看，經歷實踐—認識—再實踐—再認識的過程，使學生自覺、主動、深層次地參與到教學活動之中，在利用“幾何畫板”探索幾何奧秘的過程中，數形結合使人恍然大悟，發現規律讓人欣喜莫名，數理綜合更叫人耳目一新，師生們從內心的創造和體驗中領悟到數字的真諦。這將極大地調動學生的學習積極性，優化教學環境，對提高教育教學質量、提高學生的數學能力都有著積極的促進作用。
　　
　　4.運用實驗解決數學問題，增強學生學習的主體性。
　　建構主義認為，學習是一種建構，或者說是重新構造的活動，所以數學的教學核心不是由教師向學生灌輸或“販賣”知識，而應該是學生的“再創造”，也就是根據自己的體驗并用自己的思維方式去創造出有關的數學知識，既然學習是學生的“再創造”，那么數學實驗教學就應該以學生為主體。教師通過創設情境，充分調動學生的積極性、主動性和創造性，使全體學生積極、主動地參與到數學實驗教學過程中來，達到掌握知識，發展能力，學會創新，促使學生的主體性得到發展和完善。比如在解決數學問題時，常規的思考方法是由條件到結論的定向思維，但有些問題按照這樣的思維方式求解，往往打不開思維，形成不了思路，借助于數學實驗手段對問題進行探究，能幫助我們越過或繞過問題的障礙，克服思維上的困難，逐步形成解決問題的新思路、新途徑。
　　例3.已知數列{a}中，a＞0（n∈N），它的前n項之和為S，若S，S，S…，S是一個首項為3，公差為1的等差數列，試比較S與3na（n∈N）的大小.
　　分析：可求得S=，
　　a=（n=1）-（n≥2）
　　n=1時，S-3na=-2S＜0，∴S＜3na
　　n≥2時，S-3na=-3n（-）
　　=3n-（3n-1）（1）
　　含有根號，常規變形無法展開，無法判斷上式符號，則大小關系也就無法確定，必須另求它策，不妨通過數學實驗進行探索。
　　探索1：（1）中n是自然數，啟發學生思考：與自然數有關的問題，一般采用何種方法解決？使學生聯想歸納法并使用計算器進行試驗，發現：
　　當n=2，3時，S-3na＞0；
　　當n=4，5，6時，S-3na＜0.
　　猜想：當n≥4時，3n-（3n-1）＜0.
　　探索2：引導學生思考（1）中的符號情況（或大于0或小于0），利用綜合分析嘗試：假設3n-（3n-1）＞0，則3n＞（3n-1），兩邊平方得9n（n+1）＞（3n-1）（n+2），從而有-3n+11n-2＞0，得n=2或3時，式（1）大于0；n≥4時，式（1）小于0，問題可獲解.
　　探索1運用的是操作性實驗，探索2運用的是思考性實驗，在上述借助于數學實驗解決問題的過程中，通過創設條件實施平方、使用計算器探索規律等手段，并利用綜合分析或歸納猜想，使學生親身經歷了動手操作、思考分析、探究問題的全過程，從而激活了思維，促進了探索能力的提高。
　　三、運用數學實驗的注意事項
　　1.恰當運用數學實驗，切忌濫用。
　　新課程倡導學生動手實踐、自主探索，于是有的教師幾乎每節課都要安排學生動手“實驗”一番，就連大多數學生一看便知的較易的內容也要動手操作，美其名曰“自主發現”……似乎唯有這樣才能體現新課程的理念，其實這種理解是片面的，大量的教學實踐也證明，這樣的實驗是無效的、失敗的。我們可以運用數學實驗，創設問題情境，激發學生數學學習的動機。我們可以運用數學實驗，展現知識的形成過程。我們可以運用數學實驗，提高學生的思維層次，即通過創設情境，引導學生熟悉要研究的問題，通過實驗活動和應用，培養學生分析問題、解決問題的能力，通過學生的大膽猜想和小心求證，培養學生的創造性思維。通過討論和交流，展示思維過程，鼓勵學生從多角度、多層面去思考問題，培養思維的廣闊性；鼓勵學生進行聯想，培養思維的靈活性；鼓勵變式引伸，培養思維的深刻性，把培養學生的多種思維能力滲透在數學實驗教學中，從而使學生的思維層次得到提高。
　　2.始終重視數學本質的教學，突出“數學味”。
　　在新課程的教學中，有些教師只注重了學生的活動和實驗，而忽視了“數學化”的過程，不注重對數學思想和數學本質的揭示，其教學設計仍趨向于一種“結果型”的模式。我們開展數學實驗，以“做”為載體，幫助學生架起思維和建構的平臺，在“做”中思維，“做”中發現，使學生體驗數學的過程，在探索知識過程和實踐過程中，實現新課程提出的三個維度的教學目標。
　　3.教師要提出明確而適度的期望和要求。
　　研究表明，學生學習失效的原因之一在于學習缺乏目的性、方向性，因而造成學習的盲目性和無效感。因此，在進行數學實驗活動之前提出具體的目標和實驗內容的意義、價值，對學生具有動機作用。盡管提出的問題是開放的，給學生的思維空間很大，但學生的努力目標和方向又是具體的，是學生經過努力可以達到的，這樣學生就會積極主動地操縱計算機，充分發揮他們的想象力與創造力，認真地通過實驗去解決問題。
　　4.教師給予學生清楚而及時的反饋信息。
　　在數學實驗教學中，教師要不斷鼓勵學生，及時使用肯定評價語言，對看起來很荒謬，但確有新意的猜想，也要及時給予肯定，對于那些思考問題還不成熟的學生，只要參與，教師都應給予鼓勵，并把他們的參與同集體解決問題的成功聯系起來。為鼓勵學生積極參與實驗，教師也要注意肯定性評價語言的選擇和及時使用，即使學生在實驗中遇阻，教師也要注意使評價語言便于學生接受，使學生能從中受到鼓舞，使學生的學習欲望和自信心不斷增強。尤其是“歸納或猜想”一定要由學生自己得到，如果學生得不到教學預期的效果，教師應進一步引導學生再次實驗，再次觀察和分析，直到獲得成功。如果到下課時間，學生還未獲得預期的發現，教師可以指出要注意的事項，讓學生課后或在家里繼續進行實驗（作為作業），直到獲得發現為止。
　　總之，數學實驗具有直觀性、操作性、反復性、探索性等特點，在數學知識的發生、發展過程中，在數學問題的解決過程中，恰當運用數學實驗，可以使學生直接地觀測、親自動手操作、深入思考分析、反復探索，從而彰顯學習過程，突破學習難點，突出學習重點，切實提高學生的探究能力。
　　
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”