探索高中概率論中隨機事件的關系

　　在高中概率論中，獨立事件、對立事件、互斥事件是一些最基本的事件，很好地掌握它們能夠為我們進一步學習概率相關知識做很好的鋪墊.為避免在以后的學習中產生混淆，下文就對相互獨立事件、互斥事件、對立事件關系進行詳細概述.
　　一、隨機事件的相互獨立
　　1.兩個事件的相互獨立:對任意的兩個事件A，B，若P（AB）=P（A）P（B），則事件A與B相互獨立.
　　2.n個事件的相互獨立：一般地，對于事件A，A，…，A，若有
　　P（AA）=P（A）P（A）
　　P（AAA）=P（A）P（A）P（A）
　　P（AA…A）=P（A）P（A）…P（A）
　　其中1≤i＜j＜k＜…≤n，則稱A，A，…，A相互獨立.
　　3.兩兩獨立但不相互獨立.
　　例⒈設樣本空間{ω，ω，ω，ω}含有等可能的四個基本事件，又A={ω，ω}，B={ω，ω}，C={ω，ω}，顯然有P（A）=P（B）=P（C）=，并且P（AB）=P（A）×P（B），P（BC）=P（B）×P（C），P（CA）=P（A）×P（C）但ABC={1}，所以P（ABC）=≠P（A）×P（B）×P（C）.
　　二、互斥事件
　　1.兩個事件的互斥：如果A與B不能同時發生，也就是說AB是一個不可能事件，即AB=?準，則P（A∪B）=P（A）+P（B）.
　　2.n個事件互斥：事件A，A，…，A互不相容是指它們中任意兩個事件都互斥，即：AA=?準，i≠j，i、j=1，2，…，n，
　　則P（A+A+…+A）=P（A）+P（A）+…+P（A）.
　　三、對立事件
　　1.兩個事件的對立：設A是一個事件，令=Ω-A，稱是A的對立事件.
　　2.對立不適用于多個事件.
　　四、互斥事件與對立事件的區別
　　1.互斥的概念適用于兩個或多個事件，對立的概念適用于兩個事件.
　　2.從集合角度看，事件A，B互斥，就是它們相應集合的交集是空集，A不包含B，B也不包含A，空集與任何集合都不互斥；幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合是彼此交集是空集，事件A，B對立，就是事件A包含的結果的集合是其對立B包含的結果的補集．
　　3.兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以都不發生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發生.
　　4.兩事件對立是兩事件互斥的充分必要條件，兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立.
　　例：擲一顆骰子，其樣本空間為Ω={1，2，3，4，5，6}，若令A為出現1點之事件：A={1}，B為出現5點之事件:B={5}，這兩個事件A與B是互斥事件，但卻不是對立的，因為{1}+{2}≠Ω，相應事件C={2，3，4，5，6}是事件A的對立事件，A+C={1}+{2，3，4，5，6}=Ω，AC=?準.
　　五、相互獨立事件與互斥事件的區別
　　1.互斥是在同一事件下，相互獨立是在不同事件下.
　　2.單純在概率的基礎上，只要P（AB）=P（A）P（B），就是獨立.互斥指兩個事件不可能同時發生，即：AB=?準，則P（A∪B）=P（A）+P（B）.
　　3.在使用加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）時，若A，B互斥，P（A∪B）=P（A）+P（B）；若A，B相互獨立，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）.
　　4.一般情況下，相互獨立與互斥不能同時存在，若A，B中有一個概率為零，則A與B相互獨立和互斥可同時存在.
　　5.互斥未必相互獨立.
　　例：52張撲克牌平均分給甲、乙、丙、丁四個人，A表示甲得3張K，B表示乙得2張K；則A與B互斥但不相互獨立.
　　解：當P（A）＞0，P（B）＞0時，若A，B互斥，則A∩B=?準，從而P（AB）=0，但P（A）P（B）＞0，因而等式P（AB）=P（A）P（B）不成立，即互斥未必相互獨立.
　　6.相互獨立未必互斥.
　　例：盒子里裝有m只白球，k只黑球，做有放回的摸球試驗，A表示“第一次摸到黑球”，B表示“第二次摸到白球”；則A和B是相互獨立但不是互斥的.
　　解：若A，B獨立，則P（AB）=P（A）P（B）＞0，從而A，B不互斥（否則，P（AB）=0，導致矛盾）.
　　7.兩事件A，B相互獨立是指事件A出現的概率與事件B是否出現沒有關系，并不是說A，B間沒有關系.相反若A，B獨立，則常有AB≠?準，即A與B不互斥.A，B互斥是指A的出現必導致B的不出現，并沒有說出現A的概率與B是否出現有關系.
　　例:甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？
　　有同學這樣解答：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，
　　P（A+B）=P（A）+P（B）=C0.8×0.2+C0.7×0.3=0.825.
　　錯誤的原因：把相互獨立同時發生的事件當成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和.
　　正確的解答：本題為“相互獨立事件同時發生的概率”，設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，于是
　　P（AB）=P（A）P（B）=C0.8×0.2×C0.7×0.3≈0.169.
　　事件A（或B）是否發生對事件B（或A）發生的概率沒有影響，則A、B叫做相互獨立事件，它們同時發生的事件為AB.用概率的乘法公式P（AB）=P（A）P（B）計算.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”