圓錐曲線離心率的求解方法

　　摘 要： 離心率在圓錐曲線問題中有著重要的應用，它的變化會直接導致曲線類型和形狀的變化，圍繞求圓錐曲線離心率的有關問題在近幾年的高考題中屢次出現，本文結合高考試題和各類模擬試題來闡述解決這類問題的一些方法。文中共介紹了五種求圓錐曲線的方法。
　　關鍵詞： 圓錐曲線 離心率 求解方法
　　
　　離心率在圓錐曲線問題中有著重要的應用，它的變化會直接導致曲線類型和形狀的變化，圍繞求圓錐曲線離心率的有關問題在近幾年的高考題中屢次出現，不少學生對這類問題都感到束手無策，本文結合高考試題和各類模擬試題來闡述解決這類問題的一些方法.
　　一、利用曲線的基本量
　　根據題目本身的條件，得到參數a、c的關系，從而求出離心率e.
　　例1．過橢圓+=1（a＞b＞0）的左頂點A作斜率為1的直線，與橢圓的另一個交點為M，與y軸的交點為B，若AM=MB，則該橢圓的離心率為 .（南京市2009年高三第一次調研測試）
　　解析：如圖1所示，因為直線AB的斜率是1，所以可設A點的坐標是（-a，0），B點的坐標是（0，a），此時由于M點是線段AB的中點，故M點的坐標為（-，），又因為M點落在橢圓上，所以可將M點的坐標代入橢圓方程可得+=1，所以a=3b=3（a-c）?圯2a=3c?圯e=?圯e=.
　　這一類型的題目要根據題設條件，借助a、b、c之間的關系，溝通a、c的關系，得到關于a、c的二次齊次式，進而得到關于e的一元二次方程，從而解得離心率e.
　　例2．如圖2，在平面直角坐標系xoy中，A，A，B，B為橢圓+=1（a＞b＞0）的四個頂點，F為其右焦點，直線AB與直線BF相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為.（2009年江蘇省高考題）
　　解析：設A（-a，0），B（0，-b），B（0，b），F（c，0）
　　∵直線AB為+=1，即為bx-ay+ab=0
　　∵直線FB為+=1，即為bx-cy-bc=0
　　將直線AB和直線FB方程聯立起來，可得到點T的坐標為（，）
　　又M點為線段OT的中點
　　∴M的坐標為（，）
　　又M點落在橢圓上
　　∴+=1
　　∴c-3a+10ac=0
　　∴e+10e-3=0
　　∴e=2-5
　　二、利用曲線本身的范圍
　　例3．以+=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .（南通市2009年度第一學期高三期末調研測試）
　　解析：如圖3所示，橢圓的左準線的方程是x=，而以F點為圓心，以c為半徑的圓與橢圓的左準線交于兩個不同的點，所以有-c＜c?圯a-c＜c?圯a＜2c?圯＞?圯e＞?圯＜e＜1.
　　三、利用向量
　　新教材引用向量知識后，無疑給解決解析幾何問題提供了廣闊的視野，利用向量可以解決含有垂直和共線等知識點的離心率求解問題.
　　例4．過雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交與M，N兩點，以MN為直徑的圓恰好經過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于.（2005年浙江省高考題）
　　解析：如圖4所示，由于MN為圓F的直徑，所以∠MAN=90°，又F（-c，0）
　　∴M（-c，），N（-c，-），A（a，0）
　　∴=（a+c，-），=（a+c，）
　　∴?=（a+c）-=0
　　可化簡為e-e-2=0
　　∴e=2
　　四、結合參數
　　有些求離心率的問題，如果題設條件中含有參數，同時參數的取值范圍已知或易求解，首先找出離心率和參數的關系，進而求出離心率的取值范圍.
　　例5．已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F、F，其半焦距為c，圓M的方程是（x-）+y=c.
　　（1）若P是圓M上的任意一點，求證：為定值.
　　（2）若橢圓經過圓上一點Q，且cos∠FQF=，求橢圓的離心率.（無錫2009年模擬卷）
　　解析：（1）設P（x，y），則PF=，PF=
　　∵====4
　　∴=2
　　（2）由（1）可得=2，設QF=m，則QF=2m（m＞0）
　　∴cos∠FQF===
　　∴44m=80m-64c ∴c=m∴m=c
　　又∵2m+m=3m=2a∴4c=2a ∴e=
　　四、利用平面幾何圖形
　　利用圖形的直觀性往往給我們提供了明顯的數量關系，以形助數可使問題變得簡單，易于求解.
　　例6．設橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A且與AF垂直的光線經橢圓的右準線反射，反射光線與直線AF平行，求橢圓的離心率.（蘇北四市2009學年高三期末考試卷）
　　解析：因為入射光線與反射光線垂直，所以入射光線與準線所成的角為45°，即∠FAO=45°，所以b=c，所以e=.
　　五、利用重要不等式
　　例7．已知橢圓+=1（a＞b＞0）上總存在一點P，使得PF⊥PF，其中F、F是橢圓的焦點，則該橢圓離心率的范圍是.
　　解析：因為PF⊥PF，所以PF+PF=FF=4c
　　又∵PF+PF=2a，∴PF+PF+2PF?PF=4a
　　∴2PF?PF=4a-4c，
　　又PF?PF≤（）=a
　　∴4a-4c≤2a，∴e≥
　　 又0＜e＜1，∴≤e＜1.
　　結論：圓錐曲線的離心率是解析幾何的重點知識，是高考考查的熱點，命題的知識背景較多，如以考查圓錐曲線三參數關系，以及幾何性質為目的，或以平面幾何知識為主考查，或以平面向量的知識為背景進行考查，關于離心率取值范圍問題，往往要建立不等式模型來解決，體現了較強的綜合性，同時還重點地考查了方程的思想、不等式的思想、轉化的思想等重要的數學思想，因此是高考命題者歷年關注的熱點問題.
　　
　　參考文獻：
　　［１］有關求圓錐曲線離心率問題的策略.河北理科教學研究，2006，（4）.
　　［2］求解圓錐曲線離心率的常用方法.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”