由雙曲線的中點弦的存在性對雙曲線的中點弦問題的探討

　　摘 要： 本文通過對一道習題的研究，引出雙曲線的中點弦的存在性的探討。經過演算，分類討論，推理得出判斷中點弦是否存在的判定方法。
　　關鍵詞： 雙曲線 中點弦 存在性 斜率 平面區域
　　
　　在雙曲線中，經常遇到求中點弦的問題，首先來看一個例子.
　　例題：在雙曲線-=1中被點P（2，1）平分的弦所在的直線方程是（）。
　　A.8x-9y=7 B.8x+9y=25 C.4x-9y=6 D.不存在
　　學生易用下面的方法解決：
　　解：設所求弦與雙曲線的交點為A（x，y），B（x，y），則有
　　-=1，-=1
　　兩式相減得：-=0
　　當弦AB被點P（2，1）平分時，有x+x=4，y+y=2.代入上式可得：=，即得弦AB所在直線的斜率為.由點斜式方程可得弦AB所在的直線方程為：
　　y-1=（x-2），化簡得：8x-9y=7，故選A.
　　仔細研究發現直線8x-9y=7與雙曲線-=1不可能相交，（聯立兩方程消去y可得：28x-112x+373=0.易求其判別式Δ=112-4×28×373=-112×261方程無實數解）學生的做法看似合理，實際上所要求的弦根本不存在.這樣就需要探討一下雙曲線的中點弦的存在性.
　　問題：雙曲線C：-=1中是否存在以P（x，y）為中點的弦？
　　解：假設AB是以P（x，y）為中點的弦，A（x，y），B（x，y）.則有
　　-=1，-=1
　　兩式相減得：-=0
　　若AB被P（x，y）平分，則有x+x=2x，y+y=2y代入上式得：
　　-=0
　　1．當x≠x，y≠0時，可得AB所在直線的斜率k==，
　　AB所在的直線方程可寫成：y-y=（x-x）.
　　下面需驗證直線AB與雙曲線C：-=1能否有兩個交點.故聯立方程組消去y可得：
　　bx-a（x-x）+y=ab
　　化簡得：
　　b（ay-bx）x-2bx（ay-bx）x-（ay-bx）-aby=0
　　（1）當ay-bx=0時，即（bx+ay）（bx-ay）=0且k==±，此時，P（x，y）在雙曲線的漸近線上且斜率與漸近線的斜率相同.那么所求的中點弦就與漸近線重合，而漸近線與雙曲線沒有公共點，故所要求的中點弦不存在.
　　（2）當ay-bx≠0時，考查二次方程的判別式
　　Δ=［2bx（ay-bx）］+4b（ay-bx）］［（ay-bx）+aby］
　　＝４bx（ay-bx）+4b（ay-bx）+4b（ay-bx）aby
　　=4b（ay-bx）［（ay-bx）+bx（ay-bx）+aby］
　　=4b（ay-bx）（ay+bx-2abxy+abxy-bx+aby）
　　=4b（ay-bx）（ay-abxy+aby）
　　=4aby（ay-bx）（ay-bx+ab）
　　=4aby（bx-ay）（bx-ay-ab）
　　令Δ＞0得：bx-ay＜0或bx-ay＞ab.
　　即當P（x，y）滿足bx-ay＜0或bx-ay＞ab時，以P為中點的弦存在.
　　2．當y=0時，則x=0或x=x，
　　（1）若x=0時，即P在原點，由雙曲線的對稱性（關于原點對稱）可知以原點為中點的弦存在且有無數條;
　　（2）若x=x時，斜率不存在，方程為x=x，首先保證直線與雙曲線有兩個交點，即|x|＞a.
　　此時也滿足bx-ay＞ab.
　　綜合可得雙曲線的中點弦存在的判定定理.
　　定理：雙曲線C：-=1中，若P（x，y）滿足P在原點或滿足bx-ay＜0或bx-ay＞ab時，以P為中點的弦是存在的，否則不存在.
　　為了直觀判斷，還可上述不等式條件可仿照線性規劃畫平面區域的方法畫出對應的平面區域.
　　1.bx-ay＜0即（bx+ay）（bx-ay）＜0，其對應的平面區域（不包括邊界）如圖1所示.
　　2．bx-ay＞ab，其對應的平面區域（不包括邊界）如圖2所示，加上P在原點的情形，綜合可得平面區域如圖3所示.
　　對于文章開頭的例題中：a=9，b=4，x=4，y=1，可驗證得：bx-ay=4×4-9×1=7＞0且7＜9×4=ab，不滿足定理中的不等式條件.也可畫平面區域如圖4中P的位置來判斷.兩種方法都能說明以P為中點的弦不存在.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”