多元視角下的數學認知

　　摘 要： 文章從關于數學的地位、對于數學的理解、對于數學知識的認識三方面分析數學認知中存在的幾個誤區，使人們對數學有一個更正確、更全面的認識。
　　關鍵詞： 數學認知 認知誤區 多元視角
　　
　　數學家外爾曾說：“除了天文學以外，數學是所有學科中最古老的一門科學。”數學在促進社會進步、科學發展的同時也在不斷融入我們的生活，由此對數學有一個正確的認知至關重要。本文從對數學的幾個認知誤區談起，旨在讓大家對數學有一個更加正確、全面的認識。
　　一、誤區一：關于數學的地位
　　數學是一門有著幾千年發展歷史的學科，人們通常認為數學屬于自然科學的范疇，也常把數學和物理等一并歸入理科。事實上對于數學人們在不同時期有著不同的理解和認知，數學的地位也在不斷變化著。
　　古希臘時期，亞里士多德把數學與物理、“形而上學”等一起置于理論哲學之中；中世紀，數學作為哲學的一個分支甚至被放在神學的名目之下；文藝復興時期，達朗貝爾將數學劃歸于自然科學之內［３］。20世紀以后數學得到空前的發展，除自然科學（物理學、化學、生物學、航空學、地質學、氣象學，等等）之外，數學還向各門人文社會科學滲透，如：經濟學、語言學、人口統計學、管理科學、政治科學、心理學、社會學、歷史學、考古學，等等，應用數學的發展成為數學發展史上的第四個高峰。鑒于數學研究范圍的不斷擴大，對于數學的地位就有了新的認識。前蘇聯的茹科夫將科學劃分為普遍科學（哲學、數學）、總體科學（一般系統論、控制論）、局部科學（物理、化學、生物等）；錢學森認為科學應分為自然科學、社會科學、數學科學、系統科學、人體科學、思維科學；于光遠認為科學應分為哲學、數學、自然科學、社會科學、思維科學五類；而20世紀末期出版的《大不列顛學科全書》將知識學問作了如下分類：邏輯、數學、科學、歷史、人文科學和哲學［３］。
　　由此看出，長期以來把數學歸于自然科學的范疇是人們對于數學認知的誤區之一，已不再適應當今數學的發展趨勢。鑒于數學廣泛應用于眾多學科，滲透于人類社會發展的各個角落，數學已確立了其基于各門學科之上的獨立的科學地位。
　　二、誤區二：對于數學的理解
　　大眾對于數學的理解往往局限于中學所接觸的初等數學部分，關于算數、幾何等偏于應用的部分，而對數學的本質及研究內容理解不夠。數學具有高度的理論指導價值和普遍適用的應用價值，鑒于此，數學有純粹數學與應用數學之分。
　　純粹數學是數學的核心領域，大體上分為三大類：研究空間形式的幾何類、研究離散系統的代數類、研究連續現象的分析類。其涵蓋函數論、泛函分析、抽象代數、數論、集合論、代數幾何、微分方程論、數理邏輯、概率論、拓撲學、微分幾s9UzoKif3Yg2Mrap1dqF5A==何等經典學科。純粹數學經歷了19世紀的不斷積累，在20世紀得到了突飛猛進的發展，顯示出了更高的抽象性和統一性。20世紀中葉以來隨著社會和科學技術的不斷發展，數學已經向各個領域滲透，一方面與各領域相結合形成了眾多交叉學科；同時也產生了相對獨立的應用學科，如數理統計、運籌學、控制論、計算數學等。
　　純粹數學研究數學內部問題，“它自身獨立的發展著，通常并不受來自外界的明顯影響，而只是借助于邏輯組合、一般化、特殊化，巧妙地對概念進行分析和綜合，提出新的富有成果的問題，因而它自己就以一個真正提問者的身份出現?！保郏矗輵脭祵W研究數學在各領域的應用問題，旨在利用數學方法解決現實問題，動力來自外部世界。人們對于數學的認識多集中在數學的一些簡單應用，而對數學的核心領域（純粹數學），以及數學的深度應用并不了解，即不理解數學的本質。
　　從客觀上講，這種理解上的誤區部分來自于數學的高度抽象性。一般來說，通過介紹人們并不難理解克隆、計算機、營銷、管理、機電原理等知識，但數學家們就連向人們陳述一個最為基本的數學概念（如數列極限的概念：設{x}為一數列，如果存在常數a對于任意給定的正數（不論它多么?。偞嬖谡麛礜，使得當n＞N時，不等式|x-a|＜ε都成立，那么就稱常數a是數列{x}的極限，或者稱數列{x}收斂于a），也很難被理解。數學的曲高和寡和孤芳自賞已經成為人們對數學理解上的一道鴻溝，要改變這一現狀需要多方努力：（1）將高度抽象的數學知識通俗化向大眾普及；（2）大學階段重視高等數學（包括大學文科高等數學）的教育。
　　三、誤區三：對于“數學知識”的認識
　　鑒于數學的高度抽象性，人們對于數學知識的認識和理解并不多。盡管如此，人們還是從各種渠道了解到一些數學知識，但對這些知識的理解卻是片面和錯誤的。下面舉幾個例子說明這種片面性和錯誤性。
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　　人們對于幾何的一般理解僅局限于建立在五大公設基礎之上的“歐氏幾何”，但歐幾里得第五公設（過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行）并不像其它公設那樣顯然，數學家們努力用其它公設證明第五公設，但都以失敗而告終，從而使得歐氏幾何并不完美與正確。最先認識到非歐幾何的是數學王子高斯，但限于自己的發現與當時流行的康德空間哲學相抵觸，高斯的研究并未公開，后又經過波約和羅巴切夫斯基的深入研究，創立了新的幾何學——非歐幾里得幾何學。這種“另類”的幾何學推翻了歐幾里得第五公設，以“通過直線外一點可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線”作為替代公設，推導出了邏輯上可能的無矛盾的非歐幾何。非歐幾何有著奇特的、難以理解的一些結果，比如三角形三內角之和小于180度；假如三角形變大，使它所有三條高都無限增長，則它的三個內角全部趨于零；等等。非歐幾何經過黎曼的進一步發展形成了一種更廣泛的幾何——黎曼幾何，黎曼幾何為愛因斯坦的廣義相對論提供了最恰當的數學表述，而根據廣義相對論所進行的一系列天文觀測、實驗，也證實了宇宙流形的非歐幾里得性［４］。除此之外，射影幾何、微分幾何、拓撲學等新的幾何學也得到了空前的發展。
　　（二）著名的希臘問題（三等分角、倍立方、方圓）
　　三等分角問題為：給一個角，試求另一個角其大小為已知角的三分之一?；蛟S人們認為這個問題并不困難，也確實有若干種方法可行。但人們往往并不了解這個古老問題的背景，古希臘人非常注重維護理性、純粹的精神，堅持尺規作圖的限制，即只能用直尺和圓規作圖。即便如此我們還是能舉出一些解法，但希臘人當初還限制了規尺的用法，譬如說在直尺上標兩點之后用來解題是不許可的。對此數學家已經認為不可能三等分一個角，不可能使圓變成方。或許還是有人疑問這個問題到底有沒有解，這里我要說明的是，數學上的不可能是在嚴格的邏輯推導下得到的，并不表示這個問題解決的可能性比較小，而是絕對意義下的不可能。
　?。ㄈ└绲掳秃詹孪?br/>　　提到“哥德巴赫猜想”或許大家還比較陌生，但提到我國著名數學家陳景潤研究的“1+1=2”問題，大家既熟悉又陌生。熟悉是因為大家很早就聽過這樣一個數學問題，并以中國數學家在這個問題上取得的巨大成績而感到驕傲；陌生是因為很多人并不真正地明白這個問題。“哥德巴赫猜想”是數論中的一個經典問題，1742年德國數學家哥德巴赫在給歐拉的一封信中寫道“我不相信關注那些雖沒有證明但很可能正確的命題是無用的，即使以后他們被驗證是錯誤的，也會對發現新的真理有益”，于是提出猜想：每個偶數是兩個素數之和；每個奇數是三個素數之和。這個問題提出以來，眾多數學家付出了艱辛的努力并取得了一系列顯著的成果。1937年維諾格拉多夫利用圓法證明了奇數部分的猜想。偶數部分的猜想主要利用篩法證明，