運用數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

　　摘 要： 思維能力是智力的核心。在大力提倡素質(zhì)教育、創(chuàng)新教育的今天，有意識、有系統(tǒng)地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是一件刻不容緩的事情。數(shù)學(xué)是人類思維的體操。它在培養(yǎng)人類思維方面有著得天獨厚的優(yōu)勢，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)圍繞揭示思維過程、培養(yǎng)學(xué)生思維能力為目的而展開，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同途徑去考慮問題，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中能舉一反三、聞一知十。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 思維能力 培養(yǎng)方法
　　
　　一、設(shè)置階梯漸進題型，培養(yǎng)學(xué)生的集中思維能力
　　集中思維是指思考中信息朝一個方向聚斂，從而形成單一的、確定的答案的認(rèn)識過程。這就要求教師在對某一難點問題進行教學(xué)時，注意設(shè)置階梯問題，進行連續(xù)強化刺激，以達到使學(xué)生既掌握知識，又訓(xùn)練思維的目的。如在學(xué)習(xí)“相似三角形的面積等于相似比的平方”這一知識點時，可以安排下列一組題目：
　　例1.如圖1，在△ABC中，DE∥BC，且AD∶DB=1∶2，求S∶S的值.
　　例2.如圖1，若DE∥BC，且AD∶DB=1∶2，求S∶S的值.
　　例3.如圖2，在△ABC中，DE∥FG∥BC，S=S=S，若BC=15，求FG.
　　注：例1設(shè)置簡單，可直接運用上述性質(zhì)得出答案。例2與例1差不多，但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，已知條件和所求的問題都發(fā)生了變化，它是例2的發(fā)展與延伸。例3是例1、例2的變化與延伸。從培養(yǎng)學(xué)生集中思維能力的角度來看，若直接給出例3很容易使學(xué)生思維受阻，而通過這一組例題的搭配，保證了學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程的暢通性，提高了思維能力。
　　二、設(shè)置一題多問題型，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力
　　發(fā)散思維是指全面地觀察問題，運用多方面的知識去尋求解題方法的一種思維能力。它要求人們思考問題時信息從各種可能的方向擴散，并引出更多新信息、新結(jié)論，使學(xué)生的解題思路不拘于一個途徑，不局限現(xiàn)有的理解，盡可能得出合乎條件的多種答案。
　　例4.如圖3，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，DE⊥AC與E，求證：BD=CD.
　　本題在不改變題設(shè)的情況下，可作如下的引申：
　　引申1：求證：DE是⊙O的切線；
　　引申2：求證：DE=EF?EA；
　　引申3：求證：CE=EF.
　　三、設(shè)置相似圖形題型，培養(yǎng)學(xué)生的變通思維能力
　　變通思維是根據(jù)已有的知識結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗進行多方位、多層次、多角度分析研究的思維活動，從而創(chuàng)造性地解決問題。這種思維一般通過一題多變等方式來實現(xiàn)。
　　例5.已知，如圖4，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別是E、F.求證：EC=DF.
　　變題：如圖5，當(dāng)把CD向上移動，使其與直徑AB相交于⊙O內(nèi)一點P，其它條件不變，問原結(jié)論還成立嗎？
　　四、設(shè)置概念定理題型，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力
　　對常規(guī)思維模式“反其道而行之”，這種不同尋常的思維方式突破了習(xí)慣思維的框架，克服了思維定勢的約束，符合思維的獨特性原則。教師如果能結(jié)合教材，設(shè)計一些超乎尋常、可作假象性推測的例題，不僅可以豐富學(xué)生的想象力，而且能拓寬學(xué)生的思路。
　　例6.已知y=（a-1）x是反比例函數(shù)，則它的圖像在（ ）
　　（A）第一、三象限（B）第二、四象限
　　（C）第一、二象限（D）第三、四象限
　　注：本例的關(guān)鍵是確定反比例函數(shù)的解析式。一般來說，學(xué)生習(xí)慣于根據(jù)事物特征運用定義推出事物具有哪些特征。由反比例函數(shù)的定義，可得a=-1，所以反比例函數(shù)的解析式是y=-，故選（B）。
　　五、設(shè)置一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維能力
　　求異思維就是另辟蹊徑，提出不同意見的一種標(biāo)新立異的思維活動，它是思維的動力。
cn3OAx+01fbXS0bu1juFfTpxW1Oax/Hj+48l6UptsV4=　　例7.求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于腰上的高.如圖6，已知：在△ABC中，AB=AC，D為BC上任意一點，DE⊥AB，DF⊥AC，EF分別是垂足，BG為AC邊上的高.
　　求證：DE+DF=BG.
　　注：本例是三條線段的和差問題。學(xué)生對此類問題習(xí)慣將三條線段化歸為兩條線段二用“截長補短”。如果教師善于將學(xué)生從定向思維中解脫出來，培養(yǎng)多角度多側(cè)面分析問題的習(xí)慣，則本題可有如下幾種新思路和新解法：面積法、利用相似三角形知識、利用直角三角形知識等。
　　六、設(shè)置數(shù)形結(jié)合題型，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力
　　將代數(shù)問題轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的幾何問題，或者將幾何問題經(jīng)恰當(dāng)處理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題，用相應(yīng)的知識進行解決，這樣的數(shù)形轉(zhuǎn)換，既可以發(fā)展學(xué)生的形象思維能力，又是優(yōu)化思維品質(zhì)的有效途徑。
　　例8.當(dāng)實數(shù)a為何值時，方程|x-4x+3|=a無解、有二解、三解、四解？
　　注：這是個含有絕對值符合的二次方程，如果去掉絕對值，再利用判別式來考查，必然很繁，如果令y=|x-4x+3|，y=a，這兩個函數(shù)圖像容易作出.而要確定方程|x-4x+3|=a的解的個數(shù)，從圖形上看，就是確定直線y=a與曲線y=|x-4x+3|的交點的個數(shù)，如果作出這兩個函數(shù)的圖像，由圖形立即可以得到：
　　當(dāng)a＜0時，方程無解當(dāng)a=0及a＞1時，方程有兩個實數(shù)解；
　　當(dāng)a=1時，方程有3個實數(shù)解；
　　當(dāng)0＜a＜1時，方程有4個實數(shù)解.
　　七、設(shè)置習(xí)題再現(xiàn)題型，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。
　　調(diào)查研究表明：創(chuàng)造力是后天培養(yǎng)和造就的。對學(xué)生而言，創(chuàng)造力主要是指思維的創(chuàng)造力。教學(xué)中應(yīng)設(shè)置一些學(xué)生做過的題目，讓學(xué)生另辟蹊徑，尋找簡捷的方法，以達到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維能力的目的。
　　例9.如果一元二次方程ax+bx+c=0的兩個根之比為2∶3，求證：6b=25ac.
　　注：多數(shù)學(xué)生都是先求出方程的兩根：x=，再根據(jù)條件x∶x=2∶3進行化簡，這樣的計算非常繁雜，此時教師如果引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑，尋找簡捷的方法，學(xué)生經(jīng)過思考會得到：根據(jù)題意，可設(shè)兩根為x=2k，x=3k，利用韋達定理得;（2k）+（3k）=-，（2k）（3k）=，聯(lián)立兩式消去k，即可得到結(jié)論。
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