余弦定理在物理解題中的應用賞析

　　《考試大綱》在能力要求中明確提出五大能力，其中應用數學處理物理問題的能力在這兩年高考中體現得越來越多。
　　余弦定理反映了三角形邊、角之間的關系，而在物理解題中，有的物理量可以構成矢量三角形或幾何三角形，這些三角形若是一般的三角形，則應用余弦定理可使物理問題迎刃而解。下面以余弦定理在高中物理解題中的應用為例，旨在培養學生運用數學知識解決物理問題的能力。
　　一、余弦定理在靜力學問題中的應用
　　例1.已知F、F，F和F的夾角為θ。求F、F的合力F，并討論合力與分力的關系。
　　解：如圖在△OFF中，有余弦定理得：F=F+F-2FF2cosθ
　　即：F=
　　討論：當θ=0時F=F+F
　　當θ=時F=
　　當θ=且F=F時F=F=F
　　當θ=π時，F=|F-F|
　　可見：（1）兩分力大小一定時，分力間夾角越大合力就越小。
　　（2）合力可能大于分力，也有可能等于分力，甚至小于分力。
　　點評：用計算法求兩個共點力的合力，如果兩分力間的夾角為直角時，則可利用三角函數或勾股定理求合力；如果兩分力間的夾角為任意角時，則可利用余弦定理求合力并進行討論。
　　二、余弦定理在天體運動問題中的應用
　　例2.2000年1月26日我國發射了一顆同步衛星，其定點位置與東經98°的經線在同一平面內，若把甘肅省嘉峪關處的經度和緯度近似取為東經98°和北緯α=40°。已知地球半徑R，地球自轉周期T，地球表面重力加速度g（視為常量）和光速c。試求該同步衛星發出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間（要求用題給的已知量的符號表示）。
　　解：如圖，同步衛星繞地球做勻速圓周運動，軌道半徑為R，衛星質量為m，地球質量為M，由萬有引力提供向心力得：
　　G=mr①
　　又∵地球表面附近mg=G即GM=gR②
　　①②得：r=③
　　如圖在△OAB中，由余弦定理得：AB=④
　　則同步衛星發出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間為：t=⑤
　　③④⑤得：t=
　　點評：同步衛星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，列出方程，再與黃金代換式相結合求得其軌道半徑。然后找幾何關系，應用余弦定理求得衛星到嘉峪關處的距離。
　　三、余弦定理在電磁問題中的應用
　　例3.在半徑為R的半圓環區域中有一勻強磁場，磁場的方向垂直于紙面，磁感應強度為B，一質量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經P點（AP=d）射入磁場（不計重力影響）。
　　（1）如果粒子恰好從A點射出磁場，求入射粒子的速度。
　　（2）如果粒子經紙面內Q點從磁場中射出，出射方向與半圓在Q點切線的夾角為φ（如圖所示）求入射粒子的速度。
　　解：（1）設入射粒子的速度為v，根據題意則有：
　　qvB=m① d=2r②
　　①②得：v=
　　（2）如圖：聯結PQ，作OQ跟出射方向垂直，交AD于O，O為帶電粒子做勻速圓周運動的圓心，設半徑為r，從P點入射的速度為v則有：
　　qvB=m①
　　即：r=②
　　由幾何知識知：∠OQO=Φ，
　　所以在△OQO中OQ=R，OQ=r，OO=r-（d-R）
　　根據余弦定理得：［r-（d-R）］=r+R-2rRcosΦ③
　　②③得：v=
　　點評：帶電粒子垂直進入勻強磁場，洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動，列出方程。再根據幾何關系，應用余弦定理列出另一方程，建立方程組，使問題得以解決。
　　可見，只有通過作圖，建立清晰的物理情景，做到“數形結合”、“數理結合”，才能培養學生靈活運用數學知識解決物理問題的能力。