談“微分學中的中值定理”的教學

　　摘 要： 本文首先介紹在教學中如何導入微分中值定理的內容，從幾何意義及分析語言來描述中值定理，進一步闡述中值定理的意義及給出它的一些應用.
　　關鍵詞： 微分中值定理 局部 整體 羅爾定理
　　
　　首先，我們回顧一下學習的差商及導數的概念.差商是隨自變量x變化的一個函數，而函數在某一點處的導數是表示差商的極限即
　　f′（x）=.
　　從這里我們看得出來，某一點處的導數并不反映其它任何一點的函數的性質而僅僅反映函數的局部性質或“小范圍”的性質；差商卻放映了函數“大范圍”的性質或整體性質.我們常常需要從函數的導數所給出的局部性質來推出其整體性質，為此，我們要討論差商與導數之間的關系，就是我們在文章中要學習的“微分中值定理”.
　　微分中值定理是微分學中的重要的定理之一，在今后的學習中我們正常會用到它.因此，我們一定要正確地理解、掌握微分中值定理的條件、結論及幾何意義.
　　我們作函數f（x）的差商，并且假設此函數的導數在閉區間a≤x≤b上處處存在，而使得其曲線圖形處處具有切線.如下圖，這個差商是割線AB的斜率.
　　可以發現在曲線弧AB上至少有一個位置C處，此處的切線與割線AB平行.也就是說，在區間（a，b）內存在ξ，使得
　　=f′（ξ）.
　　這個命題稱為微分中值定理，也就是我們通常說的拉格朗日中值定理.現在用分析的語言來描述幾何直觀如下：
　　（拉格朗日中值定理）如果函數f（x）滿足:
　　（i）閉區間［a，b］上連續的，（ii）開區間（a，b）內可導，則至少存在一個值ξ∈（a，b），使得
　　（1）=f′（ξ）.
　　通常公式（1）稱為拉格朗日中值公式.為了證明拉格朗日中值定理，我們首先討論一種特殊的情況.
　　（羅爾定理）如果函數φ（x）滿足:
　　（i）閉區間［a，b］上連續的；
　　（ii）開區間（a，b）內可導;
　　（iii）φ（a）=φ（b），則至少存在一個值ξ∈（a，b），使得φ′（ξ）=0.
　　證明：因為φ（x）在閉區間［a，b］上連續，由最值定理知，在［a，b］上存在φ（x）的最大值M和最小值m.我們分以下兩種情況考慮：
　　1）若M＞m，則φ≡M，?坌x∈［a，b］.所以我們有φ′（x）≡0，?坌x∈［a，b］.
　　因此，任取ξ∈（a，b），有φ′（ξ）=0.
　　2）若M=m，則M和m這兩個數中至少有一個不在端點處取到.事實上，如果M和m同時在兩端點處取到，由φ（a）=φ（b）知M=m，這是個矛盾.不妨設φ（x）在ξ∈（a，b）內取到最大值，即存在ξ∈（a，b），使得
　　φ（ξ）=M.下證明φ′（ξ）=0.事實上，由φ（x）在開區間（a，b）內可導，有
　　φ′（ξ）=φ′（ξ）=φ′（ξ）.由極限的保號性知
　　φ′（ξ）=≥0和φ′（ξ）=≤0，
　　所以φ′（ξ）=0.
　　關于羅爾定理我們給幾點注解：
　　1）定理條件不全具備，結論不一定成立.例如，
　　 缺少條件（i） 缺少條件（ii） 缺少條件（iii）
　　2）定理條件只是充分的，而不是必要的.
　　拉格朗日中值定理的證明:我們現在應用羅爾定理來證明中值定理.等價于證明-f′（ξ）=0.因此，我們需要構造一個輔助函數φ（x）使得φ′（ξ）=-f′（ξ）=0.從這個表達式中我們容易構造輔助函數φ（x）=x-f（x），下說明函數φ（x）滿足羅爾定理的條件，顯然，φ（x）在閉區間［a，b］上連續的，而在開區間（a，b）內可導.因為
　　φ（a）=a-f（a）=和φ（b）=b-f（b）=，
　　所以φ（a）=φ（b）.由羅爾定理知，存在ξ∈（a，b），使得φ′（ξ）=0，即=f′（ξ）.于是定理得證.
　　拉格朗日中值定理的意義：函數的導數定義為某區間上的差商當區間的端點相互趨近時的極限.而中值定理建立了可微函數的差商同導數之間的聯系，這里并不要求收縮為一點.每一個差商都等于一個適當的中間點ξ處的導數.例如，設y=f（x）是火車從某車站出發沿著某一鐵路行駛的路程函數，這里x表示時間.那么f′（x）表示火車在時刻x處的速度.如果知道前3個小時（△x=3）火車行駛了路程△f=450公里，那么由中值定理我們可以得到，在這3個小時內至少有一瞬間火車行駛的速度正好是每小時150公里.但我們并不明確到達此速度的具體時刻ξ.也就是前面我們所說的，某時刻ξ瞬時速度（局部性質）可以反映整個路程的平均速度（整體性質）.
　　拉格朗日中值定理的一些應用.
　　1.作為中值定理的應用之一，我們來導出今后我們學習積分學時很有用的定理.如果f（x）在某一區間上是一常數，那么f′（x）≡0.它的逆命題也是成立的，即
　　推論1:如果函數f（x）在某一區間上的導數恒為零，則f（x）在某一區間上是一常數.
　　2.我們可以利用中值定理得出如果函數f（x）的導數不變號，則f（x）是單調函數.具體地說我們有以下結論：
　　推論2:如果函數f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內可導.
　　（1） 如果在（a，b）內f′（x）＞0，那么函數f（x）在［a，b］上單調增.
　　（2） 如果在（a，b）內f′（x）＜0，那么函數f（x）在［a，b］上單調減.
　　
　　參考文獻：
　　［1］同濟大學數學系主編.高等數學（第六版）.高等教育出版社.
　　［2］R.柯朗，F.約翰著.張鴻林，周民強譯.微積分與數學分析引論.科學教育出版社，1979.