不同方程形式下曲線弧長公式的一致性

　　摘 要： 對曲線的方程在參數方程形式、極坐標方程形式、向量方程形式等不同形式下，證明了曲線弧長公式的一致性，即都統一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　關鍵詞： 曲線 弧長 導數
　　
　　1.引言
　　在大學數學的教學中，曲線的弧長是很重要的一部分內容，但對于曲線在不同的方程形式下，其弧長的計算公式也有所不同，這些公式有沒有聯系呢？這就是本文要回答的問題.
　　在參考文獻［1］、［2］中，得出了平面曲線弧由參數方程
　　x=φ（t）y=?準（t） （α≤t≤β）（1.1）
　　給出時，曲線弧長s的計算公式為
　　s=?蘩dt（1.2）
　　這里要求φ（t）、?準（t）在［α，β］上具有一階連續導數.
　　對于空間曲線，若其曲線弧由參數方程
　　x=x（t）y=y（t）z=z（t） （α≤t≤β）（1.3）
　　給出時，曲線弧長s的計算公式為
　　s=?蘩dt（1.4）
　　這里也要求x（t）、y（t）、z（t）在［α，β］上具有一階連續導數.
　　當曲線弧由直角坐標方程
　　y=f（x）（a≤x≤b）（1.5）
　　給出時，曲線弧長s的計算公式為
　　s=?蘩dx（1.6）
　　這里要求f（x）在［a，b］上具有一階連續導數.
　　當曲線弧由極坐標方程
　　ρ=ρ（θ）（α≤θ≤β）（1.7）
　　給出時，曲線弧長s的計算公式為
　　s=?蘩dθ（1.8）
　　這里要求ρ（θ）在［α，β］上具有一階連續導數的性質.
　　2.公式的統一性
　　定理：引言中的公式（1.2）、（1.4）、（1.6）、（1.8）統一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　公式s=?蘩|′（t）|dt參見文獻［3］.證明：（1）證明公式（1.2）統一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把曲線的參數方程改寫為向量方程形式(t)={φ（t），?準（t）}（α≤t≤β）
　　則′（t）={φ′（t），?準′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　（2）證明公式（1.4）統一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　同樣把曲線的參數方程改寫為向量方程形式（t）={x（t），y（t），z（t）}（α≤t≤β）.
　　則′（t）={x′（t），y′（t），z′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　（3）證明公式（1.6）統一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把直角坐標方程y=f（x）（a≤x≤b）改寫為（t）={t，f（t）}（a≤x≤b）
　　則′（t）={1，f′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　這里只要把變量t看著（1.5）中的x即可.
　　（4）證明公式（1.8）統一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把曲線的極坐標方程改寫為向量方程
　　（t）={ρ（t）cost，ρ（t）sint}（α≤t≤β）
　　則′（t）={ρ′（t）cost-ρ（t）sint，ρ′（t）sint+ρ（t）cost}
　　所以|′（t）|=
　　 =
　　這里只要把變量t看著（1.7）中的θ即可.
　　定理證畢.
　　另外我們還可以證明文獻［3］中的曲面曲線弧長公式s=?蘩dt也統一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　這里的E=?，F=?，G=?，即E，F，G是曲面的第一類基本量.
　　證明：對于曲面曲線= ［u（t），v（t）］，有=+，所以|′（t）|=?=（+）?（+）=?（）+2? +?（）=E（）+2F +G（）
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　證畢.
　　在大學數學的教學中，可以把相關聯的內容同樣起來，比如在上面關于曲線弧長公式的教學中，可以把不同類型的公式合在一起統一于一個公式，這樣既便于學生記憶也便于學生總結歸納，在教學中能收到良好的效果.
　　
　　參考文獻：
　　［1］同濟大學應用數學系.高等數學（上冊）［M］.第五版.北京：高等教育出版社，2004:276-279.
　　［2］華東師范大學數學系.數學分析（上冊）［M］.第三版.北京：高等教育出版社，2009:247-250.
　　［3］梅向明等.微分幾何［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2008:23-80.
　　
　　基金項目：宿州學院教研項目（szxyjyxm201021）