二元函數的連續、偏導及可微三者之間的關系

　　摘 要： 本文討論了二元函數的連續、偏導、可微三者之間的關系，并通過實例進行了說明.
　　關鍵詞： 二元函數 連續 偏導 可微
　　
　　二元函數微分學的內容與一元函數微分學的內容大體上是平行的，它們的意義和作用也是相同的，但是二元函數與一元函數也有某些差異.本文通過具體實例來討論二元函數連續性、偏導存在性及可微性三者之間的關系.
　　一、連續不一定偏導存在，偏導存在也不一定連續
　　例1.證明函數f（x，y）=在原點的連續性，但偏導數不存在.
　　證明：由=0=f（0，0），故f（x，y）=在點（0，0）連續.由偏導定義知：==1當△x＞0-1當△x＜0極限不存在.故f（x，y）在點（0，0）關于x的偏導數不存在，同理可證f（x，y）在點（0，0）關于y的偏導數也不存在.
　　例2.證明函數f（x，y）=，x+y≠00， x+y=0在點（0，0）處偏導存在，但不連續.
　　證明：由偏導定義得：
　　f（x，y）==0
　　f（x，y）==0
　　故f（x，y）在點（0，0）處偏導存在.取y=mx（m≠0），則f（x，y）=f（x，mx）=.
　　故f（x，y）在點（0，0）處極限不存在，故不連續.
　　由此兩例可知，對于二元函數而言，偏導存在和連續之間沒有必然的聯系.
　　二、可微必偏導存在，但偏導存在不一定可微
　　定理1：若函數z=f（x，y）在P（x，y）可微，則它在該點存在兩個偏導數A，B且A=f（x，y）.
　　證明：設z=f（x，y）在P（x，y）可微，即由定義知：△z=A△x+B△y+o（ρ）其中ρ=，求x的偏導y可視為常量，不妨令△y=0，則ρ=|△x|，有△z=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=A△x+o（|△x|）
　　故==A
　　同理：=B，定理得證.
　　由此定理可知，可微必偏導存在，但反之不一定成立，如下例.
　　例3.證明函數f（x，y）=，x+y≠00， x+y=0在點（0，0）處偏導存在，但不可微.
　　證明：由偏導定義得：
　　f（x，y）==0
　　f（x，y）==0
　　故f（x，y）在點（0，0）關于x，y的偏導數都存在.
　　△z-［f（0，0）△x-f（0，0）△y］=
　　令△y=△x，則有==
　　故由可微定義知f（x，y）在點（0，0）不可微.
　　由此可知，對于二元函數而言，可微必偏導存在，但是偏導存在不一定可微.
　　三、可微必連續，連續不一定可微
　　定理2：設函數z=f（x，y）在P（x，y）可微，則函數在該點必連續.
　　證明：f(x