“正難則反”的解題策略

　　解題時，由條件到結論的正向思考是常用的思考方法，但有些問題按照這種順推的思維方式很難得到解決，即正面解決有困難.此時不妨改變思維方向，從反面入手，往往能事半功倍，這就是“正難則反”.
　　一、排除法
　　例1.已知y=log（2-ax）在［0，1］上是x的減函數，則a的取值范圍是（ ）
　　A. （0，1） B. （1，2） C. （0，2） D. （2，+∞）
　　分析：本題是關于復合函數單調性的綜合題，由于設問角度新穎別致，因而正面求解較為困難.我們可以從選擇項入手.
　　若a∈（0，1），則y=logx和y=2-ax都是減函數，由復合函數性質可知y=log（2-ax）是增函數，與題設矛盾，故可排除A，C.
　　若a∈（2，+∞），取a=10，則y=log（2-10x）在［0，1］上有時無意義，從而排除D，故選B.
　　例2.不等式組x＞0＞?搖的解集是（ ）
　　A. {x|0＜x＜2} B. x|0＜x＜
　　C. {x|0＜x＜} D. {x|0＜x＜3}
　　分析：若直接解不等式組，則耗費大量的時間仍難得其解時，內心的焦慮慌亂很可能導致考試的潰敗.觀察選項可知2＜＜＜3，將x=2與x=代入第二個不等式檢驗，得x=2適合，而x=不適合，故應選C.
　　二、補集法
　　例3.四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ）
　　A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種
　　分析：本題直接解較難，宜從反面入手，先找出取四點能共面的不同取法種數，然后用補集得出結果.該10個點取四個能共面的點可分三類，其中每個面上6個點中任取4點能共面，即有4C種，又每條棱上三點和對棱中點共面，即有6種，又對棱中點共面有3種情況，所以從這10點中取4個不共面的點，不同取法有C-4C-6-3=141種，故選D.
　　例4.試求常數m的范圍，使曲線y=x的所有弦都不能被y=m（x-3）垂直平分.
　　分析：“不能”的反面是“能”，被直線垂直平分的弦的兩端點關于此直線對稱，問題轉化為“拋物線上存在兩點關于直線y=m（x-3）對稱，求m的取值范圍”，再求出m的取值集合的補集即為原問題的解.
　　解：拋物線上兩點（x，x），（x，x）關于直線y=m（x-3）對稱，滿足=m（-3）=-
　　所以x+x=m（x+x-6）x+x=-
　　消去x，得：2x+x++6m+1=0
　　∵x∈R
　　∴△=（）-8（+6m+1）＞0
　　∴（2m+1）（6m-2m+1）＜0
　　∴m＜-
　　即當m＜-時，拋物線上存在兩點關于直線y=m（x-3）對稱，而原題要求所有弦都不能被直線垂直平分，則所求m的范圍為m≥.
　　三、反面入手的分析法
　　例5.設二次函數f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個根x，x滿足0＜x＜x＜，
　　（Ⅰ）當x∈（0，x）時，證明：x＜f（x）＜x;
　　（Ⅱ）設函數f（x）的圖像關于直線x=x對稱，證明：x＜.
　　分析：本題從條件出發，總覺得無從入手，不妨從結論出發，尋找結論成立的充分條件.
　　證明：（Ⅰ）欲證：x＜f（x）＜x
　　只需證：0＜f（x）-x＜x-x
　　即證:0＜a（x-x）（x-x）＜x-x
　　兩邊同除以正數a（x-x）
　　只需證：0＜x-x＜
　　而這可由已知條件0＜x＜x＜x＜推得，所以結論成立.
　　（Ⅱ）欲證:x＜
　　只需證:x-＜0
　　由于x=-，x+x=-
　　因此只需證：--（--x）＜0
　　即證:（x-）＜0
　　而這由已知條件可知，顯然成立，所以命題得證.
　　四、反證法
　　例6.設f（x）=x+ax+b，求證：|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一個不小于.
　　分析：由這一例題的結論可知這是一個證明不等式的問題，因用其他常規方法證明有困難，所以采用反證法加以證明.
　　證明：假設|f（1）|＜、|f（2）|＜、|f（3）|＜，則有-＜1+a+b＜-＜4+2a+b＜-＜9+3a+b＜
　　于是有-＜a+b＜--＜2a+b＜--＜3a+b＜-
　　由前兩式，得:-4＜a＜-2
　　由后兩式，得:-6＜a＜-4
　　這兩式顯然互相矛盾，所以假設不成立，所以原命題正確.
　　注意：凡是遇到“至少”“至多”“唯一”或含有否定詞的命題證明時，多用反證法.