初中數(shù)學(xué)分類討論思想方法的應(yīng)用

　　摘 要： 初中數(shù)學(xué)應(yīng)用分類討論數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵是提高學(xué)生對分類討論數(shù)學(xué)思想重要性的認(rèn)識、弄清楚引起分類的原因、明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)、遵循分類討論的步驟、掌握分類討論的方法，按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)，又不遺漏，分門別類加以討論求解，再將不同結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。
　　關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 分類討論 應(yīng)用
　　
　　我們在研究數(shù)學(xué)問題時，由于受到各種限制條件的制約和變化因素的影響，往往是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點和不同點將其分成不同種類進行討論，這就是數(shù)學(xué)分類思想方法。這種思想方法在初中數(shù)學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。它不僅是解決數(shù)學(xué)問題的一種策略，還是訓(xùn)練學(xué)生思維方法培養(yǎng)思維能力的重要手段。那么，如何才能使學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思想呢？下面我結(jié)合自己多年的學(xué)習(xí)心得和經(jīng)驗教訓(xùn)談?wù)勥@個問題。
　　一、提高一種認(rèn)識
　　初中數(shù)學(xué)的分類思想最初見于有理數(shù)的引入，并在以后各章節(jié)內(nèi)容中不斷加強。如絕對值性質(zhì)的討論，二次根式的化簡，一元二次方程根的討論，三角形、四邊形的分類，點、線、圓與圓的位置關(guān)系等。在教學(xué)過程中，不僅要充分利用這些知識，讓學(xué)生明白分類討論是清晰、完整、嚴(yán)密地解答復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的方法，還必須讓學(xué)生認(rèn)識到，這對提高全面分析問題的思維能力及養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)是大有益處的。通過這種策略形成學(xué)生對分類討論數(shù)學(xué)思想重要性的認(rèn)識，激發(fā)他們形成這種思想的積極性和主動性。
　　二、突破兩個難點
　　關(guān)于分類討論思想的運用，學(xué)生常出現(xiàn)的問題有兩個方面：一是對于某些應(yīng)該討論的問題，因思維不嚴(yán)謹(jǐn)，發(fā)現(xiàn)不了可能出現(xiàn)的不同情況，想不到需要討論；二是發(fā)現(xiàn)需要討論的問題時，劃分情況又難做到不重不漏，以及不善安排討論時機。這是教學(xué)過程中必須突破的兩個難點。一般地，確定一個題目是否需要討論，可看該題條件或結(jié)論所述對象是否唯一確定；何時進行討論，要看將要進行的步驟是否有足夠的條件。如解答某些問題時，若遇到需要用某一個含字母的式子作除式時，如果問題的條件中缺少判定此式非零的條件，則應(yīng)據(jù)此式能否作除式分情況討論。再如從二次根式內(nèi)開出因式前，則應(yīng)考慮已知條件中是否具備判定此式非負(fù)的條件，若不具備，則應(yīng)討論。
　　三、遵循三個步驟
　　應(yīng)用分類討論思想方法解決數(shù)學(xué)問題的一般分為三步：第一步是確定分類對象，統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)；第二步是逐類討論，分級進行；第三步是歸納總結(jié)，做出結(jié)論。如，某問題中涉及關(guān)于x的方程ax＋bx＋c＝0，若已知它是“一元二次方程”或“有兩根”，則隱含a≠0，不需討論；若已知它“有根”或“是方程”，則由于不能保證a≠0，故需分a＝0和a≠0兩種情況解答。
　　四、掌握四種形式
　　1.由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論，如a的絕對值就要按a>0，a=0，a<0進行分類，才能去掉絕對值符號；遇到會有多個絕對值的問題，一般要用定零點（令各絕對值符號內(nèi)的多項式為零求出相應(yīng)的未知數(shù)的位），劃區(qū)間，去絕對值符號的方法來處理。
　　2.由定理、公式、運算性質(zhì)的適用范圍引起的分類討論。如，一次函數(shù)y=kx+b的自變量取值范圍是-3≤x≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤y≤-2，則這個一次函數(shù)的解析式為?搖?搖?搖?搖.
　　本題的自變量x的取值和函數(shù)值的取值的對應(yīng)關(guān)系不明確，因此當(dāng)x=-3時y=-5，x=6時y=-2；也可以當(dāng)x=6時y=-5，x=-3時y=-2；于是有：-5=-3k+b-2=6k+b或-5=6k+b-2=-3k+b∴k=b=-4或k=-b=-3，所求的函數(shù)解析式是：y=x-4或y=-x-3.
　　3.由圖形的不確定性引起的分類討論，如平面幾何中線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系均有多種可能，研究各元素間的位置關(guān)系時，要注意每一個位置關(guān)系都不可遺漏，對于多種可能的情況必須分開來進行研究。例如，已知圓O、圓O外切，半徑分別為1cm和3cm，那么半徑為5cm且與圓O、圓O都相切的圓一共可以作出多少個。此題也有兩個層次的分類，首先分三種情況：（1）都內(nèi)切；（2）都外切；（3）一個內(nèi)切，一個外切。而每種情況又都有兩種情形，所以共有6個這樣的圓。幾何分類討論問題，通常是按幾何圖形的特征或幾何圖形的位置進行分類。它以分析、觀察、比較為基礎(chǔ)，通過找出共同點和不同點，從而提出分類依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)。正確的分類符合兩條原則：（1）分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進行；（2）分類應(yīng)該不重復(fù)，不遺漏。如把三角形分成斜三角形和等邊三角形兩大類就是錯誤的，因為既有重復(fù)（等邊三角形是斜三角形），又有遺漏（不包括直角三角形）。分類降低了問題的難度，是一種“分而治之”的解題策略。
　　4.由參數(shù)值的“量變”導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生“質(zhì)變”，而引起的分類討論。在研究含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題時，如（m+1）x+4x+1≤0，需對二次項系數(shù)m+1是否等于0進行討論.又如，關(guān)于x的方程kx-4x-3=0有實數(shù)根，求k的值.本題首先要考慮到的x系數(shù)是字母k，因此要對字母k進行討論：（1）當(dāng)k=0時，原方程為一元一次方程，它有實數(shù)根，所以k=0；（2）當(dāng)k≠0時，原方程為一元二次方程，要使它有實數(shù)根，則△≥0，得到k≥-，所以k≥-且k≠0.綜合①、②得到k的取值范圍為k≥-.
　　應(yīng)注意的是：一道題目是否需要討論，什么時候討論，并不是看題目中是否含有參數(shù)，而是看它是否影響繼續(xù)解題。有些題目一開始就要進行分類討論，有些題目則是在解題過程中進行討論，甚至可以回避討論。
　　總之，分類討論涉及全部初中數(shù)學(xué)的知識點，其關(guān)鍵是弄清楚引起分類的原因，明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)又不遺漏，分門別類加以討論求解，再將不同結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。數(shù)學(xué)分類思想是以數(shù)學(xué)知識為載體，以基本的數(shù)學(xué)方法為工具，以數(shù)學(xué)問題為背景，通過解決具體的數(shù)學(xué)問題來形成的。我們必須在認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，研究新教材的基礎(chǔ)上，使學(xué)生逐步形成分類討論的數(shù)學(xué)思想，以達到培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維品質(zhì)，提高綜合能力的目的。