淺談初中生數學應用題解題能力的培養

初中數學應用題既是初中數學教學的重點和難點，又是學生學習數學的分化點，化解這一問題的關鍵在于培養學生的數學應用題解題能力。

1．幫助學生歸納幾種常見的基本數量關系

數學應用題大多來源于實際生活，都有其基本的數量關系。例如行程問題的基本數量關系式為：路程=速度×時間；工程問題的基本數量關系式為：工作總量＝工效×工時；農業生產問題的數量關系為：總產量＝單產量×數量；買賣問題的數量關系為：總價＝單價×數量；商品問題的數量關系為：利潤＝售價-進價；濃度問題的數量關系為：濃度=溶質質量÷溶液質量；銀行儲蓄問題的數量關系為：利息=本金×利率×存期等。掌握了這些常見的數量關系，能使學生有效克服茫然無措的問題。

2．讓學生掌握列方程解應用題的一般步驟

列方程解應用題是初中數學教學的一個重要內容，掌握基本的解題步驟是十分必要的。

（1）審題。就是要弄清題目的情節、關鍵詞語及題目中的已知條件和要求的問題，只有正確理解題意，才能明確解題的思維方向，找出解題途徑。

（2）設元。一般有兩種設法：①直接設未知數。②間接設未知數。通常情況下，一般都是把問題直接設為未知數，在直接設元使問題比較難以解答時，才選用間接設元法。

（3）找出能代表題目全部含義的等量關系式。一般要抓住題目中出現表示數量關系的關鍵詞和題目中涉及的相等關系。這一環節可以聯系已掌握的常見題型的基本數量關系，運用有關的計算公式建立等量關系，還可以借助于畫圖分析數量關系。

（4）根據確定的等量關系，列出方程。

（5）解方程。

（6）檢驗。檢驗時不能只看未知數的值是否符合方程的解，還要結合實際問題的意義來進行檢驗。

（7）寫答，注意寫明單位。

應用題解答練習，必須要求學生自覺養成按照解答步驟進行分析思考的習慣，貴在“堅持”。

3．訓練學生學會找出應用題中的等量關系

列方程解應用題的關鍵是尋找題目中的相等數量關系，再根據相等的數量關系列出方程。尋找等量關系式時，可以引導學生從以下幾個方面進行考慮。

（1）從應用題的關鍵詞語入手，注意有關數量比較的詞語，從這些詞語中得出等量關系，并以文字形式書寫出來，如一共、多、少、幾倍、幾分之幾、大、小、提前、超過、增加、減少、節約等。

例如：某校三年共購買計算機140臺，去年購買數量是前年的2倍，今年購買數量又是去年的2倍。前年這個學校購買了多少臺計算機？

分析數量關系時，要抓住題中關鍵詞語“共” “倍”。從中得出相關的等量關系式，如：前年+去年+今年=140臺，去年數量=前年數量×2，今年數量=去年數量×2。

（2）借助基本的數量關系或有關的計算公式，得出數量間的等量關系。

例如：一項工作，甲單獨做完需要6小時，乙單獨做完需要8小時，如果兩人合作完成這項工作，則需要多少小時？

解：設需要x小時，根據基本的數量關系“工效和×合作時間=工作總量”，可列出方程：（+）x=1。

（3）根據題意畫線段圖，找出等量關系式。有些應用題中的數量關系比較復雜，就要借助于畫線段圖表示應用題中的有關量，表示出它們之間的關系。

例如：一艘小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時，水流速度為。一天，小船在早上6時從A港順流航行到B港時，發現一救生圈在途中失落，立刻返回，1小時后找到了救生圈。問救生圈是在何時掉入水中的？

解：設救生圈是在x時掉入水中的。如圖所示：

從圖中可以看出：速度和×相遇時間=總路程，由此可列得方程：

（+）×1=（12-x）×（-）

（4）抓住變化中的不變量，尋找隱含的等量關系式。有些較復雜的應用題中，含有不變化的量，解題時要善于抓住“變中不變”的量作為突破口，尋找解題思路。

例如：一艘小船由甲港到乙港順流需行4小時，由乙港到甲港逆流需行6小時，問小船按水流速度由甲港漂流到乙港需要多少小時？

解：設小船由甲港按水流速度漂流到乙港需要x小時。又因為小船在靜水中的速度是不變的量，而靜水速度=順水速度-水流速度=逆水速度+水流速度，因此得出等量關系式為：順水速度-水流速度=逆水速度+水流速度，于是列出方程：-=+。

（5）運用列表法找出數量間的等量關系。用列表法找出等量關系，可以使數量關系一目了然，便于分析，進而找到正確的等量關系，特別是條件比較多的應用題更適合運用此方法。

例如：甲從A地以6千米/時的速度向B地行駛，40分鐘后，乙從A地以8千米/時的速度追趕甲，結果在甲離B地還有5千米的地方追上了甲，求A、B兩地的距離。

解：設A、B兩地的距離為x千米。根據甲、乙兩人的速度、時間、路程的情況可列出下表：

從表中可以找出等量關系為：甲行（x-5）千米的時間-乙行（x-5）千米的時間=小時，由此可列出方程：-=。

（6）圖解法。就是用圖形或圖示揭示出應用題中各數量關系，從圖示中得出等量關系，從而列出方程。

例如：全班45名學生中，有40人報名參加數學競賽，37人報名參加英語競賽，現在知道這個班的學生中，同時參加兩種競賽的人數是兩種競賽都不參加的人數的9倍，求報名兩種競賽都參加的人數。

圖解如下：設兩種競賽都參加的人數為x人。

全班人數45人

由圖可知，容易列出方程式為：x++（40-x）+（37-x）=45。

4．加強列方程解應用題的基礎訓練

（1）列代數式的訓練。正確、迅速地列出代數式是布列方程的基礎。可以用以下幾種形式進行訓練。

用數學語言敘述代數式。例如：5x+2（一個數的5倍與2的和）。

用代數式表示數量關系。例如：x的9倍與3的差（9x-3），比x的2倍還多10（2x+10）。

根據題意敘述代數式的意義。例如：學校買來a個籃球，每個80元，又買來5個排球，每個b元。要求學生敘述以下各式的意義：① 80a（表示a個籃球的價錢），② 5b（表示5個排球的價錢），③ 80-b（表示每個籃球比每個排球貴的價錢），④ 80a+5b（表示兩種球的總價）。

（2）找等量關系的訓練。找出題中的等量關系是列方程的關鍵，訓練時，可以先讓學生找出日常生活事例中的一些等量關系。

例如：“小華到文具店買鋼筆付錢找零”時，付出的錢-買鋼筆的錢=找回的錢；買鋼筆的錢+找回的錢=付出的錢。

（3）把列代數式的訓練和找等量關系的訓練結合起來，進行列方程的訓練（只列方程，不解方程）。

例如：（1）一塊布長35米，做了15件同樣的衣服，每件用布x米，還剩10米。等量關系是：原有的布-用去的布=剩下的布，列出的方程為：35-15x=10。

（4）結合方程式自編不同意義的應用題。給出一個方程式，讓學生分析其中的已知數、未知數之間的關系，編出各類不同意義的實際應用題，以提高學生把數學模型與實際問題進行互譯的能力，同時也訓練學生靈活、嚴密的思維習慣。

例如：由方程+=1，引導學生編出工程問題、行程問題等。

5．強化一題多解訓練，培養學生思維的靈活性

有些應用題，由于結構和數量關系比較特殊，題中蘊藏著“多解成分”。如果我們從多種渠道、多個角度去分析思考數量關系，就可以找到多種解題途徑，得到多種解答方法，培養學生思維的靈活性、廣闊性和創造性。

例如：一項工作，由甲單獨做剛好如期完成，由乙單獨做則比規定日期多用3天。現在由甲、乙兩人合做2天后，余下的由乙單獨做也正好在規定日期內完成，求甲、乙兩人單獨完成各需要多少天？

設規定日期為x天，則甲單獨完成要x天，乙要（x+3）天。

解法一：根據“甲乙合作的工作量加上乙做余下的工作量等于全部工作量”，列出方程為：（+）×2+=1。

解法二：根據“甲做的工作量加上乙做的工作量就是全部工作量”，列出方程為：+=1。

解法三：根據“甲做2天的工作量相當于乙做3天的工作量”，列出方程為：=。

比較這三種解法可以看出，解法一是工程問題的一般思路，算理簡單易懂，但解法比較呆板欠靈活；解法二的等量關系明確，邏輯嚴密，既不落俗套，計算也比較簡便；解法三的構思奇特，求異思維很突出，思路靈活，解法簡單，有創新意識，這是解題的最佳方案。

6．培養學生形成數學建模思想的習慣

數學應用題大多來源于實際生活，通常先把實際問題抽象成數學模型，再用數學方法來解決。

例如：某市20位下崗職工在郊區承包50畝（注：1畝=666.67平方米，現為了學生方便聯系生活實際，此處仍用“畝”作計量單位。）土地辦農場，這些地可種蔬菜、煙葉和小麥，種這幾種農作物每畝地所需職工數和產值預測如下表：

請你設計一個種植方案，使每畝地都種上農作物，20位職工都有工作，且使農作物預計總產值最多。

思路分析：本題從畝產值來看，種蔬菜的最高；從每人可創產值看，則小麥最高。但僅從這些去決定是不夠的，如何科學、有效地安排生活、生產，就要借助于數學，把實際問題抽象成為數學模型，建立函數關系是較好的方法。設總產值為w元，種植蔬菜面積為x畝，根據圖表提供的信息，把種植煙葉、小麥的面積都表示為含x的式子，建立w與x的函數關系式，再根據函數性質求出w的最大值。本題中實際存在三種關系：① 土地面積分配，② 職工人員分配，③ 產值的統計。因此，把這三種關系用數學語言表達出來，問題就會簡單明了。

解：設種植蔬菜x畝，煙葉y畝，小麥z畝，預計總產值為w元，根據題意得：

x+y+z=50①

x+y+z=20②

w=1100x+750y+600z③

由①、②得：y=-3x+90④

z=2x-40⑤

把④、⑤代入③得：

w=1100x+750（-3x+90）+600（2x-40）

=50x+43500

又∵ x≥0，y=-3x+90≥0，z=2x-40≥0

∴ 20≤x≤30

由一次函數性質可知，當x=30時，y=0，z=20，w有最大值=45000元，此時種植蔬菜人數為15人，種小麥人數為5人。

答：種蔬菜30畝，小麥20畝，不種煙葉，此時所有職工都有工作，并且農作物預計總產值最大，最大值為45000元。

初中學生數學應用題解題能力的培養是數學教學工作中一項長期而又艱巨的任務，堅持進行一定量的訓練和實踐，學生的應用題解題能力就會得到不斷提高。

（作者單位：鳳山縣民族中學，廣西 鳳山，547603）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文