函數概念教學的幾點思考

一 要把握函數的實質

17世紀初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數的思想，把函數一詞用作數學術語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f（x）作為函數符號。關于函數概念有“變量說”、“對應說”、“集合說”等。變量說的定義是：設x、y是兩個變量，如果當變量x在實數的某一范圍內變化時，變量y按一定規律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數，記作y＝f（x）。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內的每一個確定值，按照某個對應法則y都有唯一的確定值與之對應，那么y就是x的函數，x叫自變量，x的取值范圍叫函數的定義域，和x的值對應的y的值叫函數值，函數值的集合叫函數的值域。它的優點是自然、形象直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數的實質——對應缺少充分的刻畫，以致不能明確函數是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數，這與函數是反映變量間的關系相悖，究竟函數是指f，還是f（x），還是y＝f（x），使學生不易區別三者的關系。

迪里赫萊（P.G. Dirichlet）注意到了“對應關系”，于1837年提出：對于在某一區間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的一個函數。19世紀70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應稱為映射，并把：“一切非空集合到數集的映射稱為函數”，函數是映射概念的推廣。對應說的優點有：（1）它抓住了函數的實質—對應，是一種對應法則。（2）它以集合為基礎，更具普遍性。（3）它將抽象的知識以模型并賦予生活化，比如：某班一位同學與身高（實數）的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃饅頭數的對應等都是函數。函數由定義域、值域、對應法則共同刻畫，它們相互獨立，缺一不可，這樣便很明確地指出了函數的實質。

對于集合說是考慮到集合是數學中一個最原始的概念，而函數的定義中，“對應”卻是一個外加的形式，似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{（x，y）|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個x∈A，若（x，y1）∈f，（x，y2）∈f，則y1＝y2，這時就稱集合f為A到B的一個函數。這里f為直積A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}。定義過于形式化，它舍棄了函數關系生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數學語言只能在計算機中應用。

二 加強數形結合

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。在7～12年級所研究的函數主要是冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，對每一類函數都是利用其圖像來研究其性質的，作圖在教學中顯得尤為重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函數圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數性質就能較直觀地立于心中，處理問題時就會得心應手。函數觀念和數形結合在數列及平面幾何中也有廣泛的應用。如函數y＝log0.5|x2－x－12|單調區間，令t＝|x2－x－12|＝|（x－？）2－12.25|，t＝0時，x＝－3或x＝4，知t函數的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x＝？與x軸的交點是x＝－3或x＝4并開口向上，其x∈（－3，4）的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數函數性質即可。又如，判定方程3x2＋6x＝1，x的實數根的個數，該方程實根個數就是兩個函數y＝3x2＋6x與y＝1/x圖像的交點個數，作出圖像交點個數便一目了然。

三 將映射概念下放

就前面三種函數概念而言，能提示函數實質的只有“對應說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優點：（1）體現數學知識的系統性，也顯示出時代信息，為學生今后的學習做準備。（2）凸顯數學內容的生活化和現實性，函數是刻畫現實世界數量變化規律的數學模型。（3）變抽象內容形象化，替換后學生會感到函數概念不再那么抽象難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數。學生就會感到函數不再那么陌生，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當時不也有人得出反對意見嗎？可現在不也下放到小學了嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學生易于接受，學生就不會提出“到底什么是函數？”這樣的問題。

四 區分函數與方程

盡管函數和方程都是反映量與量之間的關系，可函數反映的是變量和變量之間的關系，強調的是一個變量隨另一個變量的變化情況，從函數的角度來看，考慮的是x和y在各自的取值范圍內，彼此間怎樣相互變化。而方程反映的是未知量和已知量之間的關系，等式f（x，y）＝0是一個方程，只有在一定條件下才能確定為一個函數，從方程的角度來看，考慮的是x和y選取哪些數值時才能使等式成立；另一方面，如果變量x和y的函數關系可以用解析式y＝f（x）表示，那就得到一個方程y－f（x）＝0，它們是可以互相轉化的，有時用方程知識去研究函數，也常用函數知識去研究方程。

〔責任編輯：李錦雯〕