解析含參不等式成立的問題

【摘要】解決不等式恒成立和能成立的問題，基本方法是參數分離，聯想函數及其圖象，運用變化的觀點，將問題變成基本題型求解，這種方法鍛煉了對抽象問題的理解和轉化能力，滲透了多種數學思想。

【關鍵詞】含參不等式；辨析；轉化

含參不等式成立的問題，通常有在給定的區間不等式恰成立、恒成立和能成立基本題型。它通常與函數、方程綜合在一起，結構變化多樣、方式靈活。

一、基本題型

例1.已知函數f(x)=lg(a-ax-x2)

（1）若f(x)>0在（2，3）上恰成立，求a的值;

（2）若f(x)在x（2，3）上有意義，求a的取值范圍;

（3）若f(x)定義域A≠φ，試求a的取值范圍.

解析：（1）f(x)>0，解集為(2，3)，即a-ax-x2>1，解集為(2，3)， 2、3是方程x2+ax+1-a=0根 a=-5.

（2）等價于a-ax-x2>0在(2，3)上恒成立，設g(x)=-x2-ax+a。則

（3）f(x)定義域A≠φ，存在自變量的值x0，使f(x0)有意義，則a-ax-x2>0能成立，即a-ax-x2的最大值大于0。即△= a2+4a>0a>0或a<-4.

二、對所含變量異同的辨析

例2.已知函數f(x)=x2-2x-k， g(x)=x2+2x+3(k∈R)，

（1）若對任意x∈[-3，3]都有f(x)≤g(x)成立，求K的取值范圍；（2）若對任意x1、x2∈[-3，3]都有f(x1)≤g(x2)求K的取值范圍；（3）若對任意x1∈[-3，3]總存在x0∈[-3，3]，使得g(x0)= f(x1)成立，求K的取值范圍。

解：（1）f(x)-g(x)≤0在[-3，3]恒成立，即-4x-3≤K在[-3，3]成立，（-4x-3）max=9，故K≥9.

（2）對任意x1、x2∈[-3，3]，說明x1、x2是[-3，3]上的兩個獨立的變量，有f(x1)≤g(x2)成立， g(x)的所有函數值都大于f(x)的所有函數值，只需g(x)min≥f(x)max，得2≥15-K，故K≥13.

（3）對于任意x1∈[-3，3]，f(x1)為f(x)在[-3，3]上任意一個函數值，存在x0∈[-3，3]使得g(x0)=f(x1)，即是對于f(x)在[-3，3]上的所有函數值，g(x)在[-3，3]上總有相應的函數值與之相等，即f(x)的值域為g(x)值域的子集，易求g(x)的值域為[2，18]，f(x)的值域為[-1-K，15-K]，從而有

三、對變量任意性、存在性的辨析

例3.設f(x)=x2+2x+a2+a+1，g(x)= x3+x2+26+2a2

（1）若對任意 1、2∈[0，4]使得│f(1)- g(2)│<59恒成立，求a的取值范圍；

（2）若存在1、2[0，4]使得|f(1)- g(2)│<1成立，求a的取值范圍。

解析：（1）∵1、2∈[0，4]，f(1)，g(2)的變化范圍為f(x)，g(x)在[0，4]的值域， f(x)的值域為[a2+a+1，a2+a+25]，g(x)的值域為[2a2+26，2a2+58]

對任意1、2∈[0，4]使得│f(1)-g(2)│<59恒成立，只需│f(1)-g(2)│max<59

∵g(x)min-f(x)max= a2-a+1=（a- ）2+>0，g(x)max-f(x)min>g(x)min-f(x) max

∴g(x)max -f(x)min <59 即：a2-a-2<0，故-1

（2）存在1，2∈[0，4]使得│f(1)-g(2)│<1成立，只需│f(1)-g(2)│min <1

由(1)可知只需g(x)min-f(x)max<1

即a2-a<0故0

（作者單位：河南省新縣職業高級中學）