是求“同”,還是應該比“異”

《解決問題的策略——替換》是蘇教版課標實驗教科書六年級上冊第九單元的一個內容．當兩個數量之間的關系由倍數關系（例1）變成相差關系（習題）后，將“倍數關系替換”和“相差關系替換”中總量的“不變”和“變”作為替換中的區別點加以比對就成為教師乃至教參讓學生順利掌握新知的突破點．我也不例外，第一次執教時，我也遵循了這一思路．具體過程如下．

在教學“兩個數量具有相差關系”的替換教學時，我首先將原來的例題進行改編．

原例題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和2個大杯，正好都倒滿．小杯的容量是大杯的1/3．小杯和大杯的容量各是多少毫升？

改編題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和2個大杯，正好都倒滿．小杯的容量比大杯少20毫升．小杯和大杯的容量各是多少毫升？

教學改編題的過程如下.

師：現在還可以替換嗎?

(學生小組討論)

生1：不好替換．因為一個大杯不能正好換成幾個小杯．

生2：我們認為似乎可以替換，就是替換之后有可能720毫升果汁裝不下．

生3：我們也認為可以替換，不過替換之后也有可能不止裝720毫升果汁．

師：是啊!表面上看好像不好替換，但是如果把替換的結果一同考慮，說不定能有新的發現呢．請大家在練習紙上畫圖試一試，看能否解決問題．不過要特別注意，在替換時，果汁的總量會有什么樣的變化．

學生在畫圖嘗試、列式計算、檢驗交流后明確：把大杯替換成小杯，果汁總量就變為720－20×2=680毫升；把小杯替換成大杯，果汁總量就變為720＋6×20=840毫升.

(教師完成板書)

師：這個題目與剛才的例題在做法上有什么不同?

生1：替換的依據不同．例題中，兩個數量是倍數關系；改編題中，兩個數量是相差關系．

生2：替換后的總量不同．例題中，替換后總量還是720毫升；改編中，替換之后的總量發生了變化．

師：是啊!由于替換的依據不同，替換后的總量會不一樣．如果我們觀察替換前后杯子的個數，你有什么發現?

生1：倍數關系的替換，替換之后杯子的總個數變化了．

生2：相差關系的替換，替換之后杯子的總個數沒有變化．

師：同學們觀察得真仔細!數學就是這么奇妙!在變與不變中存在著內在的聯系．

執教完畢，個人感覺課堂氣氛比較活躍，教學過程也比較流暢．可是，當學生作業交上來之后，結果卻大大出乎我的意料：雖然課堂上曾經精心比較，但細致的對比不僅沒有幫助學生厘清思路，反而混淆了他們的思維．具體表現在學生尤其是后進生不知道什么時候應該變換總量，變換總量時，總量的調整是加還是減？加多少減多少？學生花樣百出，摸不清頭緒．

憑直覺，學生沒有完全弄懂！問題出在哪？

與學生交談，學生苦惱的是：當兩個數量之間的關系變成相差關系后，用一種對象來替換另一種對象時，既要考慮 “具體的替換”，又要考慮“替換后的結果”，同時還需同步協調整理新的數量關系．顯然，對于一個十一、二歲的學生來說，同一時間同時做這三項工作有些困難．關鍵這和他們已有的經驗也不一致．雖然沒有字斟句酌，但望文生義，學生心底已有了幾個基本印象：一，等量替換，只有相等的量才能相互替換；二，總量不變，因為是相等的幾個量在進行相互替換，因此替換過程不會導致總量的變化．而例題的教學有意無意強化了學生的這一認識．然而眾所周知，并不是所有的比較都能廓清學生的思維．特別地，在前一知識沒有自動化的前提下，立馬引入一個與它旗鼓相當但又截然相反的知識并把它們的區別點加以凸顯、比對不僅不能幫助學生洞察知識，相反很容易造成學生認識上的混淆．上述教學無意中正陷入了這一誤區．因此，教學能否另辟蹊徑？

揣摩教材，“相差關系替換”是作為“倍數關系替換”的習題出現的．既然是習題，而且是第一道習題，應該“同”是本質，“異”是細流．那么，這兩題在教學思路上能否做到求“同”，而不是比“異”？下面是我思考后進行的第二次嘗試．

師：現在還可以換嗎?

生：不好替換．因為一個大杯不能正好換幾個小杯．

師：是啊，像前一道例題“正好換幾個小杯”多好啊．將大杯全部換成小杯后，直接用720除以替換后小杯總的個數，就可得到一個小杯的容量．多簡單呀．那這一題怎么辦？怎樣替換？

（學生思考）

師（啟發）：替換的一個原則是等量不變．大杯替換成小杯怎樣才能保持等量不變？

生：1個小杯加20毫升后才相當于一個大杯．

師：這樣替換后大杯的量變換了沒有？

生：沒有．

師：那這個大杯呢？

生：也要換成一個小杯加20毫升．

師：那么，左邊相當于幾個小杯和多少毫升？

生：8個小杯加2×20毫升．

師：右邊呢？

生：仍然是720毫升．

（隨著學生講述，教師完成下圖）

師：用等量關系表示就是？

生：每個小杯的容量×8＋20×2=720毫升．

師：要求“每個小杯可裝多少毫升”怎樣計算？會做嗎？

生1：很容易．這就像解方程．把每個小杯的容量看作未知數，依照方程一步一步地解就可很快地求出結果．

生2：也可按照還原法的思路去解．要求每個小杯的容量，從結果出發，用720先減去20×2，再除以8.列式是（720－20×2）÷8.

師：剛才我們是把大杯換成小杯，那么能不能把小杯換成大杯？請大家在練習紙上畫一畫圖，試一試，看能否解決問題．

學生嘗試交流（略）.

師：比較這個題目與剛才的那個例題的解法，你們有什么新的看法?

生1：這兩個例題不同，一個剛好能換成幾個小杯，一個不能換成整數杯，還是調整，加或減幾十毫升．相對而言，第一種題型要簡單．

生2：我覺得這兩道題實質是一樣的，它們都遵循“6個小杯+2個大杯=720毫升”這一大的數量關系式，都是在這一大的數量關系式的基礎上替換的，并且替換時都遵循一個共同的原則：總量不變，即右邊不變．

思路上簡單，形式上也不見得蕪雜．第二次嘗試的匠心正在于此．由于牢牢扣住了兩點：一，相等的兩個量才能互相替代；二，替換后總量保持不變.因而不僅使例題與習題在形式上實現了統一（如圖），都遵循“6小杯+2大杯=720毫升”這一總的數量關系式， 而且在替換思路上也實現了一致：在不變化總的數量關系的前提下，都是將局部的一個量換成另一個量．這樣，既減少了思維的跨度，又照應了學生的經驗現實．更重要的是，“復雜的內容教得簡單”這一教學高境界在某種程度上得到了體現．

責任編輯 羅峰