平面一級倒立擺系統的研究與設計

張凌宇，王世宇，高越，呂清松

（蘇州城市學院，江蘇蘇州，215104）

0 引言

擺是進行控制理論研究的典型實驗平臺，可以分為倒立擺和順擺兩大類。其中，倒立擺是一個典型的非線性、高階次、強耦合、不穩定、欠驅動系統。對倒立擺的控制涉及到控制科學中處理非線性、高階次、強耦合對象的關鍵技術，實現了倒立擺的高品質控制，就解決了控制領域中的難題。

按照基座的運動形式，倒立擺主要分為直線倒立擺、環形倒立擺和平面倒立擺三大類。目前，直線型倒立擺作為一種實驗儀器以其結構相對簡單、形象直觀等優點，廣泛運用于實驗教學等環節。環形倒立擺的基座運動形式與直線倒立擺有所差異，但二者相同之處是基座僅有一個自由度。

相比之下，平面倒立擺是倒立系統中最復雜的一類，其非線性、耦合性、多變量等特性更加突出。目前，關于平面倒立擺系統的穩定控制研究相對較少。因此，本文主要開展平面一級倒立擺系統的研究與設計工作。

1 平面一級倒立擺的數學建模

對平面一級倒立擺的結構做簡化處理，假設擺桿是勻質的，且忽略摩擦力的條件下，平面一級倒立擺可以被抽象為由基座小車質量塊和均勻擺桿組成的剛體運動系統，并建立如圖1所示的全局坐標系OXYZ。

圖1

圖1 (a)中，l為倒立擺擺桿長度，lxz，lyz分別是擺桿在x-z，y-z平面的映射長度，θ為擺桿與z軸方向的夾角，α，β分別為擺桿在x-z，y-z平面的映射與z軸方向的夾角。可得：

在擺桿垂直向上的平衡位置時可近似認為lxz，lyz≈l。根據坐標定義，只考慮x-z平面內情況，如圖1(b)所示。

采用拉格朗日動力學建立平面倒立擺的數學模型，有拉格朗日方程及為拉格朗日算子可知倒立擺系統的動能T和勢能V 分別可以通過下列方程組進行計算：

根據式（4），可得倒立擺系統的動能和勢能分別為：

結合式（5），并整理可得如下方程組：

由此可見，平面一級倒立擺系統在垂直向上的平衡位置附近進行近似處理后，擺桿在互相垂直的兩個方向上是非耦合的。因此，在X、Y兩個方向可以分別設計控制器，而不必擔心兩個方向上的互相干擾的問題。

2 系統硬件設計

如圖2所示，系統主要分為三個部分：機械硬件單元、電機驅動單元和控制單元。

圖2

機械硬件單元主體采用CoreXY結構，通過兩個直流減速電機來控制滑塊在XOY平面內的自由移動。同時，滑塊上端通過萬向節與擺桿底座相連接，并將姿態傳感器（MPU6050）緊貼于底座，以獲取擺桿的實時姿態信息；電機驅動單元主要實現兩路直流電機的驅動和正/反轉控制，并為控制單元供電；控制單元選用STM32F1系列控制器，通過姿態傳感器和兩路電機的編碼器信號獲取擺桿的實時傾角信息以及相對位置信息。

■2.1 機械硬件單元

相較于僅具有一個控制維度的直線倒立擺，平面倒立擺增加了一個控制維度，因此具有更大的控制難度。為了減少執行電機數目，系統設計過程中采用CoreXY結構，以減少執行電機數目，具體結構如圖3所示。

圖3

如圖3所示，設?X、?Y分別為滑塊在X和Y方向的位移，?A、?B分別為電機A與電機B的線位移，則有：

由式（7）可得：

因此，僅用兩個電機和傳送帶的耦合，就可以控制中心滑塊向平面內各個方向的自由移動，從而降低了系統的控制難度。

■2.2 電機驅動單元

電機驅動單元主要采用由兩片BTN7971B構成的H橋電路來控制電機轉動。相較于由MOS管組成的H橋電路，其更為簡單，且占用面積小，便于PCB布局。此外，其內置限流保護電路，可有效保護電路。具體硬件電路，如圖4所示。

圖4

同時，為了避免感性負載（電機）產生的反向倒灌電流燒毀微控制器，設計中選用緩沖芯片74LS244來實現微控制器與驅動電路間的隔離。

控制單元選用STM32F1系列控制器，通過姿態傳感器和兩路電機的編碼器信號獲取擺桿的實時傾角信息以及相對位置信息，并將采集到的上述信息通過OLED進行顯示。

（1）姿態傳感器

姿態傳感器選用6軸傳感器模塊MPU6050，其結合了3軸陀螺儀和一個3軸加速度計，工作電壓為2.4V～3.5V。MPU6050作為整合性6軸運動處理組件，相較于多組件方案，免除了組合陀螺儀與加速器時之軸間差的問題，減少了大量的包裝空間。

（2）OLED液晶

OLED具備輕薄、省電、使用壽命高等特性，以及許多LCD不可比擬的優勢。本設計使用的OLED顯示模塊，采用SPI通信協議，并帶有相關接口，只需要占用微控制器的4個IO口，就能達到顯示效果。

3 系統程序設計

為了實現倒立擺擺桿的穩定控制，在Keil MDK5集成開發環境上完成了系統的程序開發。系統程序流程圖，如圖5所示。

圖5

如圖5(a)所示，系統上電后，首先對微控制器(串口、中斷、定時器、IIC等)、編碼器、電機、MPU6050以及OLED液晶進行初始化，然后進入定時器中斷，在中斷中實現相應檢測控制功能。定時器中斷的程序流程，如圖5(b)所示。首先，微處理器讀取MPU6050采集到的擺桿傾角信息，并通過兩路編碼器讀取滑塊的相對位置信息；然后，微處理器根據所獲得的實時信息，計算保持擺桿平衡所需的滑塊位移，并將其轉換為相應的電機的控制信號，從而控制滑塊向相應方向進行移動，達到保持擺桿平衡的目的。

其中，MPU6050初始化的程序流程，如圖6所示。

圖6

如圖6所示，MPU6050的初始化過程主要完成陀螺儀、加速度傳感器的量程、采樣速率設置、內置DMP使能，以及原始數據采集、數據濾波、原始姿態四元數解算、濾波數據融合、姿態角輸出等任務。

4 系統測試

在完成系統機械結構和硬件電路設計的基礎上，經過反復調試，最終完成了系統樣機的制作。樣機實物，如圖7所示。

圖7

在實現平面倒立擺系統的基本功能后，對所設計倒立擺系統的抗沖擊能力進行了測試。

具體測試過程中，采用24V開關電源為整個系統供電，用玩具槍來模擬外界沖擊，并通過平拋運動的思想來測量子彈的出膛速度。隨后，采用控制變量法，通過依次改變子彈重量、射擊距離以及沖擊位置，最終測得了該倒立擺系統所能承受的最大沖量距。與此同時，對于相同沖量距情況下的沖擊效果進行了多次測量，測試結果表1所示，表明：相同沖量距情況下的沖擊測試結果基本相同，從而驗證了沖量距這一物理概念。

表1 測試結果

5 結語

對于平面倒立擺系統的穩定控制研究具有巨大的應用價值。本文在建立平面一級倒立擺系統數學模型的基礎上，完成了系統機械結構和硬件電路的設計，實現了對擺桿姿態的實時、穩定控制。同時，相關測試結果表明，所設計的平面一級倒立擺系統具有良好的穩定性和魯棒性，具有一定的應用價值。