巧用利用率π/4,提高解題的準確率

數學是一門運用思維的學科，其知識本身的重要性毋庸置疑，但它并不是唯一的決定因素，真正對學生以后學習、生活和工作長期起作用，并使其終生受益的其實是數學的思想方法.課程標準在教材編寫建議上，要求根據學生已有經驗、心理發展規律以及所學內容的特點，一些重要的數學概念與數學思想方法應采用逐步滲透、深化、螺旋上升的方式編排，以便逐步實現本學段的學習目標．所以在日常教學中，我們要善于充分挖掘教材中所蘊含的思想方法，在課堂上與教學內容有機滲透、自然滲透，有意識啟發學生領悟蘊含于數學知識之中的種種思想方法，并引導學生經歷由感性到理性、抽象到具體、特殊到一般的過程，再經過反復訓練和體驗，逐步內化和運用，才能讓學生真正領會，學有所得，獲益終生．下面我以人教版《義務教育課程標準實驗教科書#8226;數學》六年級上冊“圓的面積”為例探討怎樣挖掘并滲透數學思想．

該課時是學生學習求曲線圖形的第一課，也是求平面圖形面積的一次重要轉折，教材安排是把它轉化成一個近似的長方形，從而推導出面積計算公式的．學習過程中向學生滲透了“轉化”這一數學思想方法，其精妙之處在于把本來不容易解決的問題，通過轉化變成容易解決的問題，特別適合小學生掌握知識的年齡特點，因此在整個小學階段的數學學習中經常會用到這種思想方法．這樣的教學安排增強了學生自覺應用數學思想方法解決問題的意識，也讓學生體驗到數學思想方法的重要性．隨后教材還在其配套習題中提供了這樣一個知識點：在每個正方形中分別作一個最大的圓，并完成下表（第72頁第9題）.

通過計算驗證學生掌握了：只要是在一個正方形里畫一個最大的圓，這個圓的面積就一定是這個正方形面積的，即在一個正方形里畫一個最大的圓其利用率為78.5%！隨后我又把表格設計成計算兩者的周長之比，并總結出這樣的結論：正方形內最大的圓周長與面積和正方形的周長與面積均成正比例關系，而且根據兩者的關系，我們還可以很容易求出其中某個圖形的周長或面積．

這個知識點在學生學習掌握了圓柱、圓錐和比例等小學數學重要知識后，如能正確運用“轉化”這一數學思想方法，更能顯示出其在解決實際問題時的優越性，既可以為學生以后學習其他形體的面積和體積打好基礎，進一步發展空間觀念，還可以增強學生解決問題的策略和方法，逐步增強他們收集、處理信息的意識和能力，提高學生用數學方法處理數學問題的能力，獲得初步的函數觀念，為初中課程的相關知識學習做好鋪墊．下面我選用幾個例子來說明如何通過“轉化”，巧用利用率來解決實際問題，權當拋磚引玉與同行切磋．

例1：①已知一個正方形的面積是676平方米，在它里面畫一個最大的圓，這個圓的面積是多少？②已知一個正方形的周長是104米，在它里面畫一個最大的圓，這個圓的周長是多少？

解：①676×78.5%=530.66（平方米）；②104×78.5%=81.64（米）.

例2：①已知一個圓的面積是530.66平方米，它是一個正方形里面的最大圓，這個正方形的面積是多少？②已知一個圓的周長是81.64米，它是一個正方形里面的最大圓，這個正方形的周長是多少？

解：① 530.66÷78.5%=676（平方米）；② 81.64÷78.5%=104（米）.

往年像這樣的題目，大多數學生雖然已經熟記了圓和正方形面積、周長的計算公式，但在遇到這些相關的實際問題時，許多學生還是感到解答困難，無從下筆．今年由于前面已經有利用率78.5%這個知識點為“橋梁”，解答時絕大多數學生能將例1的兩個問題分別轉化成“求676（或104）的78.5%的是多少？”把例2轉化成“已知一個數的78.5%是530.66（或81.64），這個數是多少？”并正確解答出來．實踐證明，教學中經常進行多向思維的訓練，可以讓學生廣開思路，萌發思維的創造性，培養學生思維的廣闊性、靈活性和創造性．

例3：把一個正方體削成一個最大的圓柱體，如果圓柱體的側面積是314平方厘米，那么正方體的表面積是多少？

解法1：設圓柱的底面直徑為d厘米，根據題意，得π d×d=314，解得d2=100（平方厘米），100×6=600（平方厘米）.

解法2：設正方體的側面積為x平方厘米，得==，解得x=400，400÷4×6=600（平方厘米）．

例4：把一個橫截面是正方形的長方體木料切削成一個最大的圓柱體，已知圓柱體的表面積是32.97平方厘米，底面直徑與高的比是1:3，請問原長方體的表面積是多少？

解法1：設圓柱的底面直徑為d厘米，根據題意，得πd×3d＋（）2×π×2=32.97，解得d2=3（平方厘米），3×3×4＋3×2=42（平方厘米）.

解法2：設原長方體的表面積是x平方厘米，得==，解得x=42．

例5：把一個體積為24立方厘米的正方體加工成一個最大的圓錐體，這個圓錐體的體積是多少？

解法1：設正方體邊長為a厘米，根據題意，得×π×（）2×a=×3.14×=6.28（立方厘米）.

解法2：24×78.5%×=6.28（立方厘米）.

從平面圖形面積計算到立體圖形體積計算，這對絕大多數學生來說難度增加了很多，體積計算要求學生具備更強的空間想象能力、觀察能力和思維能力．尤其像上面舉出的這些例子，在教師沒有做任何提示的情況下，學生解題的正確率是很低的．這時候我抓住機會向學生指出：無論是平面圖形還是立體圖形，只要是有“在一個正方形里畫一個最大的圓”這個特定條件，我們都可以運用利用率把復雜的問題巧妙轉化，再通過比例知識把各個數量關系正確對應達到快速解決難題的目的．對于有些題目即便不能一步到位，但也仍然可以起到“橋梁”的搭建作用，就像例3；對于例4，從解法1（一般解法）和解法2（巧用利用率的解法）的對比中，我們更是顯而易見發現巧用利用率這種解法的直觀性和簡便性；例5則是證明了這種解法在體積計算中同樣適用，而且把這種解法的優越性表露無遺！經過我的細致講解，學生多數能梳理好新舊知識的結構，認識面與體之間的聯系和區別，擺脫如要求正方體的表面積就一定要先算出其棱長、求圓面積就一定要先算出半徑等“機械式”的解題思路，并利用知識遷移順利解題，再通過討論交流后，90%以上的學生茅塞頓開，豁然開朗．

在長期的教學學習實踐中，我們認識到：觀察是思維的觸角，是學生認識事物的基礎，一切發明創造都離不開科學的觀察．解決問題時引導學生從不同角度出發觀察和思考問題，有利于培養學生靈活處理數學問題的能力．通過多角度思考，獲得多種解題途徑，也能拓寬學生的思路，使學生感受到數學的奧秘和情趣，進一步培養了學生的創新意識．

授人以魚，不如授人以漁．在小學數學學習實踐中，教師不僅要讓學生多掌握解題方法，更重要的是要注重教給學生學習的方法，培養學生靈活多變的解題思維，培養學生思維能力和良好的思維品質，從而既提高學習質量，又達到培養能力、發展智力的目的．

責任編輯羅峰

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