巧用利用率π/4,提高解題的準確率

數(shù)學(xué)是一門運用思維的學(xué)科，其知識本身的重要性毋庸置疑，但它并不是唯一的決定因素，真正對學(xué)生以后學(xué)習(xí)、生活和工作長期起作用，并使其終生受益的其實是數(shù)學(xué)的思想方法.課程標準在教材編寫建議上，要求根據(jù)學(xué)生已有經(jīng)驗、心理發(fā)展規(guī)律以及所學(xué)內(nèi)容的特點，一些重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)采用逐步滲透、深化、螺旋上升的方式編排，以便逐步實現(xiàn)本學(xué)段的學(xué)習(xí)目標．所以在日常教學(xué)中，我們要善于充分挖掘教材中所蘊含的思想方法，在課堂上與教學(xué)內(nèi)容有機滲透、自然滲透，有意識啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)知識之中的種種思想方法，并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由感性到理性、抽象到具體、特殊到一般的過程，再經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練和體驗，逐步內(nèi)化和運用，才能讓學(xué)生真正領(lǐng)會，學(xué)有所得，獲益終生．下面我以人教版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書#8226;數(shù)學(xué)》六年級上冊“圓的面積”為例探討怎樣挖掘并滲透數(shù)學(xué)思想．

該課時是學(xué)生學(xué)習(xí)求曲線圖形的第一課，也是求平面圖形面積的一次重要轉(zhuǎn)折，教材安排是把它轉(zhuǎn)化成一個近似的長方形，從而推導(dǎo)出面積計算公式的．學(xué)習(xí)過程中向?qū)W生滲透了“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想方法，其精妙之處在于把本來不容易解決的問題，通過轉(zhuǎn)化變成容易解決的問題，特別適合小學(xué)生掌握知識的年齡特點，因此在整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會用到這種思想方法．這樣的教學(xué)安排增強了學(xué)生自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識，也讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)思想方法的重要性．隨后教材還在其配套習(xí)題中提供了這樣一個知識點：在每個正方形中分別作一個最大的圓，并完成下表（第72頁第9題）.

通過計算驗證學(xué)生掌握了：只要是在一個正方形里畫一個最大的圓，這個圓的面積就一定是這個正方形面積的，即在一個正方形里畫一個最大的圓其利用率為78.5%！隨后我又把表格設(shè)計成計算兩者的周長之比，并總結(jié)出這樣的結(jié)論：正方形內(nèi)最大的圓周長與面積和正方形的周長與面積均成正比例關(guān)系，而且根據(jù)兩者的關(guān)系，我們還可以很容易求出其中某個圖形的周長或面積．

這個知識點在學(xué)生學(xué)習(xí)掌握了圓柱、圓錐和比例等小學(xué)數(shù)學(xué)重要知識后，如能正確運用“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想方法，更能顯示出其在解決實際問題時的優(yōu)越性，既可以為學(xué)生以后學(xué)習(xí)其他形體的面積和體積打好基礎(chǔ)，進一步發(fā)展空間觀念，還可以增強學(xué)生解決問題的策略和方法，逐步增強他們收集、處理信息的意識和能力，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)方法處理數(shù)學(xué)問題的能力，獲得初步的函數(shù)觀念，為初中課程的相關(guān)知識學(xué)習(xí)做好鋪墊．下面我選用幾個例子來說明如何通過“轉(zhuǎn)化”，巧用利用率來解決實際問題，權(quán)當拋磚引玉與同行切磋．

例1：①已知一個正方形的面積是676平方米，在它里面畫一個最大的圓，這個圓的面積是多少？②已知一個正方形的周長是104米，在它里面畫一個最大的圓，這個圓的周長是多少？

解：①676×78.5%=530.66（平方米）；②104×78.5%=81.64（米）.

例2：①已知一個圓的面積是530.66平方米，它是一個正方形里面的最大圓，這個正方形的面積是多少？②已知一個圓的周長是81.64米，它是一個正方形里面的最大圓，這個正方形的周長是多少？

解：① 530.66÷78.5%=676（平方米）；② 81.64÷78.5%=104（米）.

往年像這樣的題目，大多數(shù)學(xué)生雖然已經(jīng)熟記了圓和正方形面積、周長的計算公式，但在遇到這些相關(guān)的實際問題時，許多學(xué)生還是感到解答困難，無從下筆．今年由于前面已經(jīng)有利用率78.5%這個知識點為“橋梁”，解答時絕大多數(shù)學(xué)生能將例1的兩個問題分別轉(zhuǎn)化成“求676（或104）的78.5%的是多少？”把例2轉(zhuǎn)化成“已知一個數(shù)的78.5%是530.66（或81.64），這個數(shù)是多少？”并正確解答出來．實踐證明，教學(xué)中經(jīng)常進行多向思維的訓(xùn)練，可以讓學(xué)生廣開思路，萌發(fā)思維的創(chuàng)造性，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性．

例3：把一個正方體削成一個最大的圓柱體，如果圓柱體的側(cè)面積是314平方厘米，那么正方體的表面積是多少？

解法1：設(shè)圓柱的底面直徑為d厘米，根據(jù)題意，得π d×d=314，解得d2=100（平方厘米），100×6=600（平方厘米）.

解法2：設(shè)正方體的側(cè)面積為x平方厘米，得==，解得x=400，400÷4×6=600（平方厘米）．

例4：把一個橫截面是正方形的長方體木料切削成一個最大的圓柱體，已知圓柱體的表面積是32.97平方厘米，底面直徑與高的比是1:3，請問原長方體的表面積是多少？

解法1：設(shè)圓柱的底面直徑為d厘米，根據(jù)題意，得πd×3d＋（）2×π×2=32.97，解得d2=3（平方厘米），3×3×4＋3×2=42（平方厘米）.

解法2：設(shè)原長方體的表面積是x平方厘米，得==，解得x=42．

例5：把一個體積為24立方厘米的正方體加工成一個最大的圓錐體，這個圓錐體的體積是多少？

解法1：設(shè)正方體邊長為a厘米，根據(jù)題意，得×π×（）2×a=×3.14×=6.28（立方厘米）.

解法2：24×78.5%×=6.28（立方厘米）.

從平面圖形面積計算到立體圖形體積計算，這對絕大多數(shù)學(xué)生來說難度增加了很多，體積計算要求學(xué)生具備更強的空間想象能力、觀察能力和思維能力．尤其像上面舉出的這些例子，在教師沒有做任何提示的情況下，學(xué)生解題的正確率是很低的．這時候我抓住機會向?qū)W生指出：無論是平面圖形還是立體圖形，只要是有“在一個正方形里畫一個最大的圓”這個特定條件，我們都可以運用利用率把復(fù)雜的問題巧妙轉(zhuǎn)化，再通過比例知識把各個數(shù)量關(guān)系正確對應(yīng)達到快速解決難題的目的．對于有些題目即便不能一步到位，但也仍然可以起到“橋梁”的搭建作用，就像例3；對于例4，從解法1（一般解法）和解法2（巧用利用率的解法）的對比中，我們更是顯而易見發(fā)現(xiàn)巧用利用率這種解法的直觀性和簡便性；例5則是證明了這種解法在體積計算中同樣適用，而且把這種解法的優(yōu)越性表露無遺！經(jīng)過我的細致講解，學(xué)生多數(shù)能梳理好新舊知識的結(jié)構(gòu)，認識面與體之間的聯(lián)系和區(qū)別，擺脫如要求正方體的表面積就一定要先算出其棱長、求圓面積就一定要先算出半徑等“機械式”的解題思路，并利用知識遷移順利解題，再通過討論交流后，90%以上的學(xué)生茅塞頓開，豁然開朗．

在長期的教學(xué)學(xué)習(xí)實踐中，我們認識到：觀察是思維的觸角，是學(xué)生認識事物的基礎(chǔ)，一切發(fā)明創(chuàng)造都離不開科學(xué)的觀察．解決問題時引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)觀察和思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活處理數(shù)學(xué)問題的能力．通過多角度思考，獲得多種解題途徑，也能拓寬學(xué)生的思路，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奧秘和情趣，進一步培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識．

授人以魚，不如授人以漁．在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中，教師不僅要讓學(xué)生多掌握解題方法，更重要的是要注重教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的解題思維，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和良好的思維品質(zhì)，從而既提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，又達到培養(yǎng)能力、發(fā)展智力的目的．

責任編輯羅峰

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