幾何證明添加輔助線的技巧

摘 要：對于很多幾何證明題，添加輔助線是關鍵所在，學生應該掌握三角形、梯形、平行四邊形、圓形等圖形中添加輔助線的基本規律，掌握輔助線添加的技巧，仔細研讀題目，從題設和結論入手，添加輔助線，將二者聯系起來。

關鍵詞：輔助線； 基本規律； 橋梁； 反推法

中圖分類號：G633．6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2011）9-028-001

對于中學生來說，幾何證明題很令人頭疼，當他們面對題目時，經常不知從哪著手，看著題目，看著圖形，卻毫無思路。這主要有三個方面的原因：一、對于已學過的定理、推論等掌握不牢固。二、沒能掌握一些證明題里的規律。三、不能將題目中的信息與已學知識恰當地聯系起來。在很多證明題中，添加輔助線非常重要。如果學生能夠掌握添加輔助線的一些基本規律，從題設、結論兩個方面入手，成功添加輔助線，最終將三者統一起來，那幾何證明題就迎刃而解。

一、添加輔助線的基本規律

在幾何證明題中，輔助線的添加有一些基本的規律，雖然不能適用每道題，但是對于許多題目仍很有用。

1．在三角形中，遇到中點，添加中位線或中線；遇到角平分線，過角平分線上的點，添線構造全等三角形；遇到中線，延長中線至原長的二倍，構造全等三角形；截長補短構造等長直線等；添加平行線構造全等或相似三角形。

2．在梯形中，作平行線，構造平行四邊形；補全直線，構造三角形；作垂線，構造直角三角形或矩形；遇到中點，作中位線或構造全等三角形；遇到對角線，作平行線。

3．在平行四邊形中，有平行線構造平行四邊形；有中點構造全等三角形；過交點作垂線；有垂線時，構造矩形或作平行線。

4．在圓中，有切線，過切點作半徑；有弦，過圓心作垂線；有等弧，作等弦或等圓心角；遇到直徑，構造直角三角形；兩圓相交時，作公共弦；兩圓相切時，作公切線。

二、從題設入手，添加輔助線

在證明題里，題設中包含的信息最多。根據題設信息，聯系已學知識，層層深入，結合結論，確定輔助線。

例1：如圖（1），Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH∥AB交BC于H。

求證：CE=BH。

分析：題設中出現了兩個重要的信息，即AE平分∠CAB和FH∥AB，根據添加輔助線的基本經驗，我們會想到，由于出現了角平分線，可以過E點作AB的垂線（圖1-1），構造三角形與△ACE全等，由全等可知CE=EQ，則證EQ=BH即可，要證他們相等，同樣很麻煩，因為BH不是任何三角形的邊，需再添輔助線。因而我們需轉換思路，根據EH∥AB，可添輔助線FP∥HB（圖1-2），構造平行四邊形FPBH。由平行四邊形性質可知FP=HB，則證FP=CE即可。根據已知條件易證△ACF≌△APF，可得PF=CF，所以再證明CF=CE即可。由于CF、CE在一個三角形中，證明△CFE等腰，∠3=∠4即可。題設中∠ACB=90°，CD⊥AB，AE平分∠CAB，FH∥AB，這些條件中暗含了很多角相等的信息，通過這些信息易證明∠3=∠4，也就間接證出了CE=BH。

例2：已知如圖2，△ABC中，D是BC邊的中點，E是AD邊的中點，連結BE并延長交AC于點F。

求證：FC=2AF

分析：題設中兩次出現了中點，由此可以想到作中位線或是過中點作底邊的平行線。但有兩個中點，具體怎么作，還需結合結論來定。求證結論是FC=2AF，作完輔助線之后，應使得題設中的條件和結論之間的關系更加明確。因而找到最適合的方法：過D點作CF的平行線，交BF于點G。這樣就把輔助線DG與結論中的FC聯系起來，FC=2DG。只要證明DG=AF即可。由DG∥AC，E為AD中點，易證△AFE≌△DGE，所以DG=AF，這樣即可證明FC=2AF。

三、從結論入手，添加輔助線

結論只有一個，同樣結論中的信息也只有一個，雖然信息比題設中少了很多，但是有時也可以直接從結論出發，結合題設做出輔助線。即采用反推法。

例3：已知，如圖3，∠1=∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，

求證：∠BAP＋∠BCP=180°

分析：此題求證結論是∠BAP＋∠BCP=180°，結合圖形可知 ∠BAP和∠BCP兩個角分別在兩個三角形中。由已學知識可知，互補角和為180°。因而將兩個角移到一起即可。由圖可知，∠BAP+∠EAP=180°，只要能證明∠BCP=∠EAP 即可。從而可想到添加輔助線，構造全等三角形。所以過P點作BA的垂線，垂足為點E。由∠1=∠2，PD⊥BC，PE⊥AB，可得PE=PD，BD=BE，∠PEA=∠PDC。

由AB+BC=2BD，可得BC-BD=BD-AB=BE-AB。即AE=DC，由角邊角相等即可證明△AEP≌△CDP，則∠BCP=∠EAP，從而證明∠BAP＋∠BCP =180°。

總之，在幾何證明題中，恰當地添加輔助線至關重要。學生應該在做題的過程中，總結添加輔助線的基本規律，對于一些非常規的題目，要善于聯想，善于結合，把題設、結論，用已學知識聯系起來，找到突破口，成功添加輔助線。