平面向量坐標運算實際運用及易錯案例剖析

平面向量章節是中等專業學校數學學科知識體系的重要組成部分，在學生專業知識學習中具有廣泛的應用?，F就平面向量坐標運算知識點在實際問題中的運用以及易錯案例進行簡要闡述。

一、向量坐標運算在具體問題中的運用

案例一：如圖所示，在△ABC中，D，E，F分別是邊BC，CA，AB上的點，且使BD/DC=CE/EA=FA/FB，求證：△ABC與△DEF的重心相同。

分析：要證△ABC與△DEF的重心相同，就是要證明表示重心的兩點相同，一種方法是利用向量相等，另一種方法就是證明兩個重心的坐標相同。

證法1：設△ABC的重心為點G，△DEF的重心為點G’，設BD/DC=CE/EA=FA/FB=λ（λ∈R，λ＞0）則對于平面內的任一點O，有OG=1/3（OA+OB+OC），OG'=1/3（OD+OE+OF）.∵BD/DC=CE/EA=FA/FB=λ，∴OD=（OB+λ，OC）/（1+λ），OE=（OC+λOA）（1+λ），OF=（OA+λOB）/（1+λ），∴OD+OE+OF=OA+OB+OC，∴OG=OG'，∴重心G和重心G'重合，∴△ABC與△DEF的重心相同。

證法2：設△ABC的三個頂點的坐標分別是A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），其重心G的坐標為（g1，g2），△DEF的三個頂點分別是D（d1，d2），E(e1，e2)，F(f1，f2)，其重心G’坐標為（g'1，g'2），則g1=1/3（a1+b1+c1），g2=1/3(a2+b2+c2)，g'1=1/3(d1+e1+f1)，g’2=1/3(d2+e2+f2).∵BD/DC=CE/EA=FA/FB=λ，BD=λDC，CE=λEB，AL=λFB?！郿1=(b1+λc1)/(1+λ)，d2=(b2+λc2)/(1+λ)，e1=(c1+λa1)/(1+λ)，e2=(c2+λa2)/(1+λ)，f1=(a1+λb1)/(1+λ)，f2=(a2+λb2)/(1+λ). ∴d1+e1+f1=a1+b1+c1，同理，d2+e2+f2=a2+b2+c2. ∴g'=1/3(a1+b1+c1)，

g'2=1/3(a2+b2+c2)， ∴重心G和重心G'重合.

解題策略：證法1使用的是線段定比分點的向量公式，證法2使用的是線段定比分點的坐標公式。同時，還可以運用三角形中的兩個重要的結論：G為△ABC的重心?圳GA+GB+GC=0; BD/DC=CE/EA=FA/FB=λ?圳AD+BE+CF=0(D，E，F為△ABC的邊BC，CA，AB上的點)進行證明。

案例二：已知點O 是△ABC內一點，∠AOB=150°，∠BOC=

90°，設AO=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，試用a，b表示c。

分析：本題根據平面向量的基本定理有c=λ1a+λ2b，當a，b，c的坐標已知時，該公式實際上就是一個關于λ1，λ2的二元一次方程組，由此可以確定λ1，λ2，這也是本題解答的一個重要思路。

解：如圖所示，以點O為原點，OA為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系，由三角函數的定義，得到B

二、向量坐標運算易錯案例辨析

1.對線段的定比分點坐標公式理解不透

案例1：已知三角形的頂點A(2.-5)，B(1.-2)，C(4.7)，求頂角B的角平分線BD的長度。

錯解：由角平分線的性質，得λ=lADl/lDCl=lBAl/lBCl=1/3.設點D的坐標為（x，y）， ∵A(2，-5)，B(1，-2)，C(4，7)， ∴x=7/2，y=4. ∴lBDl=13/2。

分析：在使用定比分點坐標公式時，要分清起點與終點，以上錯誤在于混淆了x1，x2的順序所致。因此，在解答時，欲求BD的長度，需求出D點的坐標，可以先求出D分AC所成的比，再利用定比分點坐標公式求出點D的坐標。在使用公式時，要理解公式中字母x1，x2，y1，y2的意義。（證明過程略）

2.對向量共線的充要條件的坐標公式記憶不準

案例2：已知三點（1.2），（2，4），（3，m）共線，試求m的值。

錯解：∵ABC三點共線，∴AB∥BC，∵AB=(1.2)，BC=(1.M-4)，∴1×1-2(m-4)=0，解得m=9/2.

分析：將兩個向量共線的充要條件的坐標公式記錯了，不是x1x2-y1y2=0，而是x1y1-x2y2=0。

正解：由題意可知AB∥BC，∵AB=(1.2)， BC=(1.M-4)，∴（m-4）-2-1=0，解得m=6。

（作者單位：江蘇省南京市中華中等專業學校）