新課程下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的解題策略

摘要解題作為數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一環(huán)，培養(yǎng)學(xué)生解題技巧和思想方法一直是我們關(guān)注的方向，而課堂教學(xué)中解題策略傳授卻被大多數(shù)教師忽略，由提出問(wèn)題，提什么樣的問(wèn)題到解出問(wèn)題，怎樣讓學(xué)生解出問(wèn)題？本文給出了一些總結(jié)。

關(guān)鍵詞問(wèn)題 解題 策略

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

The Problem-solving Strategies in Mathematics Classroom

Teaching Under New Curriculum

SUN Xiaoling

(Lin'an Yuqian Middle School， Hangzhou， Zhejiang 311311)

AbstractProblem-solving as an very important part of Mathematics teaching， we always notice about training students' problem-solving skill and thinking style， but most of us ignore the teaching of problem-solving strategies， this paper gives some summaries about it.

Key wordsquestion; problem-solving; strategy

1 問(wèn)題的構(gòu)建

數(shù)學(xué)的真正部分是問(wèn)題和問(wèn)題的解決，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，在課堂教學(xué)中營(yíng)造不用的問(wèn)題氛圍，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入教學(xué)活動(dòng)，一起參與對(duì)問(wèn)題的分析、探究解題方法及其本質(zhì)。對(duì)問(wèn)題本身的構(gòu)建成功與否直接關(guān)系到學(xué)生是否充分發(fā)揮了自己的創(chuàng)新思維能力和方式，問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)一般可以從以下幾個(gè)方面入手：

（1）生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題。直接從生活情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在學(xué)生周?chē)鶕?jù)實(shí)際的情形讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，引起思維上的沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣和動(dòng)力。

（2）數(shù)學(xué)問(wèn)題的聯(lián)系實(shí)際生活。數(shù)學(xué)概念規(guī)律在生活中的模型實(shí)例，許多排列組合的題目都可以在生活中找到切實(shí)的模型，教師就可以借助現(xiàn)成的實(shí)際模型聯(lián)系課本中抽象的數(shù)學(xué)概念及規(guī)律，使學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)知識(shí)不是枯燥乏味的純理論學(xué)科。

（3）“好問(wèn)題”的標(biāo)準(zhǔn)。什么是“好問(wèn)題”？“好問(wèn)題”應(yīng)具有張奠宙教授在《數(shù)學(xué)素質(zhì)教育設(shè)計(jì)（草案）》中所提出的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：①對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不是常規(guī)的，不能靠簡(jiǎn)單的模仿來(lái)解決；②可以是一種情景，其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題要靠學(xué)生自己去提出、求解并作出解釋；③具有趣味和魅力，能引起學(xué)生的思考和向?qū)W生提出智力挑戰(zhàn)；④不一定有終極答案，各種不同水平的學(xué)生都可以由淺入深的作出回答；⑤解決它往往需伴以個(gè)人或小組的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

但好問(wèn)題不一定就是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，它甚至可以是一個(gè)很簡(jiǎn)單的，生活實(shí)踐中十分常見(jiàn)和答案顯而易見(jiàn)的問(wèn)題，只要它透露著必要的數(shù)學(xué)思想和有一定的啟發(fā)。

2 常見(jiàn)的策略簡(jiǎn)述

2.1 定義法

概念與其定義是對(duì)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的描述和界定，因而是數(shù)學(xué)推理論證的邏輯基礎(chǔ)，對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果從所涉及的數(shù)學(xué)概念的原始定義去考慮，往往能獲得題設(shè)信息所固有的本質(zhì)屬性。

例1 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x) = x2 + |x - a| + 1，x∈R求f (x)的最小值。

分析因?yàn)楹瘮?shù)解析式中含有絕對(duì)值，利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值的問(wèn)題。

解：（1）x≥a時(shí)，f (x) = x2 - x - a + 1 = (x + )2 - a +

若a≤- ，則f (x)在[a， + ∞)上的最小值為f (- ) = - a；若a＞- ，則f (x)在上[a， + ∞)單調(diào)遞增，f (x)的最小值為f (a) = a2+ 1。

（2）x≤a時(shí)，f (x) = x2 - x + a + 1 = (x - )2 ++ a

若a≤- ，則f (x)在(∞-， a]上的最小值為f (a) = a2+ 1；若a＞，則f (x)在(∞-， a]上的最小值為f () =+ a。

綜上a≤- ，時(shí)，f (x)的最小值為 - a，；＜a≤時(shí)，f (x)的最小值為a2+ 1；a＞時(shí)，f (x)的最小值為 + a。

2.2 特殊化與一般化

特殊化與一般化是相輔相成的辨證思維過(guò)程。所謂特殊化，就是縮小研究對(duì)象的原有范圍或增加約束條件的思維方法，表現(xiàn)為一種“以退求進(jìn)”的解題策略，華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“解題時(shí)要足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去”。

所謂一般化，就是把研究對(duì)象或問(wèn)題從原有范圍擴(kuò)展到更大范圍內(nèi)進(jìn)行考慮的思維方法，表現(xiàn)為一種“以進(jìn)求退”的解題策略。

例2 設(shè)a1、a2、a3、a4、a5都是大于1的實(shí)數(shù)，證明：

16(a1a2a3a4a5 + 1)＞(1 +a1 )(1 + a2)(1 + a3)(1 + a4)(1 + a5)

分析改證一般性命題：若a1、a2、a3、a4、a5都大于1，則n＞2時(shí)，2n-1(a1a2a3…an + 1)＞(1 +a1 )(1 + a2)(1 + a3)…(1 + an)，n = 5時(shí)即為原命題。

證明①n = 2時(shí)，易證2(a1a2 + 1)＞(1 + a1 )(1 + a2)；

②設(shè)n≤k時(shí)命題成立，則n = k + 1時(shí)，

2k(a1a2…akak+1+ 1) = 2k-1[a1a2…(akak+1)+ 1]

＞2·(1 +a1 )(1 + a2)…(1 + ak-1 )(1 + akak+1)

＞(1 +a1 )(1 + a2)…(1 + ak-1 )(1 + ak)(1 + ak+1)

即n= k + 1時(shí)一般性命題成立；

綜上，一般性命題成立，從而n = 5時(shí)命題成立。

所以，當(dāng)a1、a2、a3、a4、a5大于1，則16(a1a2a3a4a5 + 1)＞(1 +a1 )(1 + a2)(1 + a3)(1 + a4)(1 + a5)

2.3 利用對(duì)稱性

從原始的意義上說(shuō)，對(duì)稱性是指組成某一事物的幾部分之間的對(duì)等性，反映到數(shù)學(xué)上，可分為數(shù)、式的對(duì)稱和圖形的對(duì)稱性兩大類，例如，代數(shù)式的對(duì)稱輪換性，奇函數(shù)的定義，二項(xiàng)式的系數(shù)，幾何圖形的軸對(duì)稱及中心對(duì)稱性，等等；都是對(duì)稱在數(shù)學(xué)中最基本最直接的表現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)美的一種具體體現(xiàn)。

例3 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么不同排法共有多少種？

分析：本題若分類討論，較為繁瑣，換一個(gè)角度考慮問(wèn)題，在五人的全排列中，B站在A的右邊的排法與B站A在的左邊的排法數(shù)相等，依對(duì)稱性原則，所求排列數(shù)為。

除了上述的策略之外，其他的策略還有利用圖形、正難則反（反證法）、函數(shù)思想等等。

3 幾點(diǎn)反思

解題策略的傳授與發(fā)現(xiàn)是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一環(huán)，關(guān)鍵在于教師在課堂教學(xué)中給學(xué)生主動(dòng)探究、自主學(xué)習(xí)的空間，因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高，不是通過(guò)教師講解或完全靠課本上的間接經(jīng)驗(yàn)達(dá)成的，而更多的是通過(guò)自己的探究和體驗(yàn)得來(lái)的，在探究和自主學(xué)習(xí)中，他們能夠形成多方面的能力和技能。

在另一方面，教師應(yīng)當(dāng)營(yíng)造合作式學(xué)習(xí)環(huán)境，并鼓勵(lì)學(xué)生大膽用頓悟知覺(jué)去尋找問(wèn)題解決的策略，鼓勵(lì)學(xué)生在進(jìn)行獨(dú)立探究和小組討論中積極參與對(duì)解題策略的評(píng)論和發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生自主創(chuàng)作，敢說(shuō)、敢想、敢動(dòng)手操作、敢問(wèn)、敢討論，鼓勵(lì)學(xué)生尋求多向、多維的交往形式，增加師生、生生之間的多維有效互動(dòng)。

最后，激發(fā)學(xué)生多方面的思維和尋求民主和諧的課堂教學(xué)氣氛，民主和諧的課堂教學(xué)氣氛是良好課堂秩序的重要組成部分，也是學(xué)生積極參與解題策略探究和實(shí)現(xiàn)的重要保證，教育過(guò)程是教育者幫助受教育按照預(yù)期方式變化的過(guò)程，教師的主要任務(wù)是確定學(xué)生應(yīng)發(fā)生什么變化，以及在次過(guò)程中如何為他們提供幫助，因此教師必須把知識(shí)形態(tài)轉(zhuǎn)化為解題策略形式，抓住了“問(wèn)題”這個(gè)數(shù)學(xué)的“心臟”，也就能是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的良性循環(huán)。

參考文獻(xiàn)

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[2]（美）波利亞（Polya G.）.怎樣解題.上海科技教育出版社，2004.

[3]初等數(shù)學(xué)研究教程.吉林科技教育出版社，2004.