淺談多元函數微分學的應用

摘要多元函數微分學是一元函數微積分的推廣，是高等數學中的一個重要篇章，在幾何、經濟、物理等領域都有著廣泛的實際應用。本次研究總結了其在幾何和經濟問題中的幾種應用類型，對于多元函數微分學相關問題的求解有著一定的指導歸納作用。

關鍵詞多元函數 微分學 幾何應用 經濟應用

中圖分類號：O175 文獻標識碼：A

Discusses the Application of Multivariate Function Differential Calculus

CHENG Min， XIONG Wei

(Computer Science Department， Ezhou Vocational Colleges， Ezhou， Hubei 436000)

AbstractMultivariate function differential calculus is a promotion of circular function calculus， it is an important part of Advanced Mathematics， and it is widely applied in Geometric， Economy， Physics， etc. This research summarizes its application in Geometric and Economy， which can provides some help for the study of relative problems of multivariate function differential calculus.

Key wordsmultivariate function; differential calculus; Geometric application; Economic application

0 前言

多元函數微分學是一元函數微分學的擴展，目前在幾何、物理、經濟等多個范疇內都得到了實際應用。在求解平面幾何以及立體幾何中的一些問題上，適當引入多元函數微分學可以達到化繁為簡、加深理解的目的。例如：利用多元函數微分學，可以求解空間曲線的切線與法平面方程；空間曲線的切向量與法向量、空間曲面的切平面與法線、空間曲線的切線與法平面等幾何問題。而在求解經濟學中生產函數與生產要素中的關系時，我們也可以建立產量（Q）與資本投入量（K）、勞動力投入量（L）之間的二元函數關系，并運用偏微分法對生產函數Q=f（K，L）進行經濟分析，從而達到最大限度地提高經濟效益的目的。總之，熟練掌握多元函數微分學在各方面的實際應用，對于進一步加深理解微分概念，應用數學工具去解決實際問題是十分重要的。

1 多元函數微分學幾何應用舉例

1.1 關于曲線參數方程及法線方向向量的定義

在多元函數微分學的幾何應用中，關于曲線參數方程和法線方向向量的求解是經常用到的，也是學習求解空間曲面切平面與法平面的基礎。因此，本文介紹了用多元函數微分法求解上述問題的做法，利用該方法在處理隱函數形式給出的平面曲線某點的切線或法線問題時，能夠簡化解題步驟，使問題變得更簡單。

在解析幾何中，往往需要求解曲線在其上某點處的切線與法線方程。設平面曲線L的參數方程為：

其中x = (t)，y = (t)均可導，曲線L上點M0(x0，y0)對應參數t = t0。假定'(t0)、'(t0)不同時為零，則曲線L過點M0的切線方程為：

（x - x0）/'(t0)=（y - y0）/'(t0) ①

設平面曲線L的方程為f (x，y) = 0，M0(x0，y0)是曲線上的點。假設函數f(x，y)的偏導數在該點的某鄰域內連續，且fx(x0，y0)，fy(x0，y0)不同時為零。則曲線L在M0處的法線的方向向量為：

= {f x(x0，y0)，f y(x0，y0)}②

1.2 用多元函數微分法求解曲線方向導數和法線方程

借助于上述定義，下面舉例說明多元函數微分法在平面幾何中的應用。

例1：已知函數f(u，v)有連續的偏導數，且f (1，1) =1，fu(1，1) = 2， f v(1，1) = 4，求曲面xf (3x - 2y，2y - x) = Z在(1，1，1)點處沿xoy平面上曲線2x2+y2=1在(1，1)點法線向上方向的方向導數。

解：因為Z = xf (3x - 2y，2y - x)，則

Z對x偏導 = f (3x - 2y，2y - x) + x(3fu - fv)

Z對y偏導 = 2x（-fu + fv）

令曲線方程F(x，y) = 2x2+y2 - 1，則Fx = 4x，Fy = 2y，由②可知，曲線在(1，1)點的法線方向向量 = {2，1}，所以，曲面沿指定曲線在(1，1)點法線向上方向的方向導數為：

例2 設函數y = f(x)由方程ex+3y - 3cos(xy)=e2 - 3所確定，則曲線y = f(x)在點(2，0)處的法線方程為（）。

解：令F(x，y) = ex+3y - 3cos(xy) - e2+3，則

Fx = ex+3y + 3ysin(xy)

Fy = 3ex+3y + 3xsin(xy)

于是所求法線的方向向量為：

= {Fx，Fy}={1，3}

所求法線方程為：3x-y-6=0

2 多元函數微分學生產應用舉例

2.1 關于生產函數及邊際產量的定義

根據微觀經濟學相關理論，產品數量是與一定數量的生產要素和組分之間配比的一定組合相對應的，生產函數即反映了一定數量的必要原料與產品最大可能產量之間的關系。若以Q代表商品產量；K表示資本投入量，L表示勞動力投入量，則稱Q = f (K，L)為生產函數。通過建立生產函數，我們可以運用偏微分法對生產函數作經濟分析，通過調整各項生產要素的投入比例，從而達到提高經濟效益的最終目標。

此外，我們還引入邊際產量的定義。若資本投入量K不變，則當勞動力投入量L發生變化時，我們定義 = fL為勞動力的邊際產量，其經濟意義表示在資本投入量K固定的情況下，勞動力投入量L遞增一個單位而增加的總產量。同樣定義= fK為資本投入量的邊際產量。

2.2 單個生產要素投入變化對產量的影響

當一個生產要素固定時，生產函數將隨另一生產要素發生變化。若將資本K看作不變要素，則一定范圍內產量Q隨勞動力投入量L的增加而增加。然而當產量Q達到最大之后，即使勞動力投入量L繼續增加，總產量也將保持不變，微觀經濟學認為這是生產經濟中的一條實際規律。

根據總產量曲線圖（圖1），我們可看出，總產量Q、邊際產量（生產曲線上某點的切線斜率）隨勞動力投入量L增加的變化可分為三個階段。

在第一階段（0＜L≤L0）內，邊際產量、總產量都隨L的增加而增加，當L=L0時，邊際產量達到最大。

在第二階段（L0＜L≤L2）內，邊際產量開始遞減，而總產量仍在增加，當L=L2時邊際產量減少至零，總產量達到最大值。當L0＜L≤L1時，邊際產量仍相對較高，當L1＜L≤L2時，邊際產量處于較低水平。此階段內只要邊際產量大于零，總產量仍處于遞增趨勢。

在第三階段（L2＜L）內，邊際產量為負值，總產量趨于不變，甚至出現輕微下滑。通過前文的分析結合經濟學的觀點，可見任何企業都不會在第三階段進行生產，因為在這個階段內邊際產量為負值、總產量趨于下降。企業生產也不會止于第一階段，因為第一階段內只要增加投入就能提高邊際產量及總產量，可見，實際操作中，第二階段才是生產進行的最優階段。

圖1總產量曲線圖圖2等產量曲線圖

2.3 多個生產要素投入變化對產量的影響

在實際的生產中，往往資本投入量K和勞動力投入量L均會發生變化。我們用等產量曲線圖來表示K、L的不同組合與一定量產品Q之間的關系，如圖2所示。

通過觀察圖2，可總結等產量曲線圖的特點如下：（1）任何兩條等產量曲線都不會相交；（2）等產量曲線離原點越遠，則產量水平就越高；（3）在生產過程中，不同的生產要素組合能夠產生同等的產量，但生產要素并不能完全互相替代。

對于給定的生產函數Q = f(K，L)，若K與L都以非零常數為倍數增加，生產函數值f (K，L )便以m的比率變化。以廣泛應用于經濟分析中的柯布-道格拉斯生產函數Q = f (K，L) = A KL (A＞0，＞0， ＞0)為例，則f(K，L) = A (K)(L) =(+) Q。可見，若+=1，則f(K，L )= Q，表示當資本投入與勞動投入都以同樣的比率變化，那么產量的變化等于投入變化率；若+＜1，則產量的變化小于投入變化率； 若+＞1，那么產量的變化率大于投入的變化率。例如：生產函數Q = f (K，L) = 1.2K3L2，由于+=3+2=5，則f (K，L ) = A (K)(L) = (+) Q = 5Q。若 = 2，則f (2K，2L ) =32，表示投入K、L增加一倍，產量可變為原來的32倍。

3 結論

本文介紹了多元函數微分法在幾何問題和生產問題中的實際應用，利用多元函數微分方法來處理隱函數形式給出的平面曲線某點的切線或法線問題時，能夠簡化解題步驟，使問題變得更簡單；此外，在利用多元函數的微分法來分析生產函數時，可以反映是一定技術條件下要素投入與產出之間的技術關系，對于提高企業經濟效益有一定用處。文章對于總結多元函數微分法的實際應用有著重要的指導意義和參考價值。

參考文獻

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