一類幾何不等式的證明方法

【摘要】利用多元極值方法和二次型正定性判定方法，給出了一類與三角形三邊長有關的幾何不等式的證明方法，并舉例作了說明.

【關鍵詞】幾何不等式；多元極值；二次型；正定

一、引 言

不等式是數學中非常重要的組成部分，很多復雜的數學問題需要借助不等式進行簡化才能得以順利求解.作為不等式家族中的重要成員，幾何不等式一直備受關注，這一方面是由于很多幾何不等式的證明頗具挑戰性，另一方面是由于幾何不等式往往都具有非常優美的表現形式和直觀的幾何意義.對于幾何不等式的證明，常見的方式是依靠其幾何意義的背景進行直接證明，這種證明方式技巧性比較強，往往不等式的形式稍有不同，證明的方法就完全不一樣.實際上，對于一些特定類型的幾何不等式，可以利用微積分和代數學的知識給出通用的證明方法，本文著重討論與三角形三邊長有關的一類不等式的證明方法.

二、與三角形三邊長有關的不等式結構及證明方法

設三角形的三邊長分別為a，b，c，與三角形三邊長有關的不等式可表示為

f(a，b，c)≤g(a，b，c).（1）

其中f和g通常為可微函數.

對于這類不等式可利用微積分中多元極值的求解方法，結合代數學中二次型的正定性判別進行證明，其過程為：

令F(a，b，c)=g(a，b，c)-f(a，b，c)，所要證明的不等式等價于F(a，b，c)≥0.

首先根據多元函數取得極值的必要條件列出方程組

Fa(a，b，c)=0，Fb(a，b，c)=0，Fc(a，b，c)=0.（2）

由（1）可解，得定點(x0，y0，z0).

然后根據多元函數取得極值的充分條件，求出二次型矩陣.

A=Faa(x0，y0，z0)Fab(x0，y0，z0)Fac(x0，y0，z0)Fba(x0，y0，z0)Fbb(x0，y0，z0)Fbc(x0，y0，z0)Fca(x0，y0，z0)Fcb(x0，y0，z0)Fcc(x0，y0，z0) .（3）

接下來計算矩陣A的順序主子式，若各階順序主子式均大于或等于零，則F(x0，y0，z0)為極小值，從而證明F(a，b，c)≥0成立.

如果F(a，b，c)本身即為二次型結構，則可直接使用二次型正定性判定定理，當二次型矩陣的各階順序主子式均大于或等于零時，F(a，b，c)為半正定二次型，即F(a，b，c)≥0成立.

若所要證明的不等式形式為f(a，b，c)

三、不等式證明實例

下面使用著名幾何學家O.Bottema所著的《幾何不等式》中的兩個不等式對上述證明方法舉例說明.

例1 證明不等式8abc≤(a+b)(a+c)(b+c)，其中a，b，c為三角形的三邊長，當且僅當三角形為正三角形時等號成立.

證明 令F(a，b，c)=(a+b)(a+c)(b+c)-8abc.

則由Fa(a，b，c)=(b+c)(2a+b+c)-8bc=0，Fb(a，b，c)=(a+c)(a+2b+c)-8ac=0，Fc(a，b，c)=(a+b)(a+b+2c)-8ab=0，

可解得abc=k111，其中k為任意常數，考慮到a，b，c為三角形的邊長，故取k>0.

對于定點(k，k，k)，根據多元函數取得極值的充分條件，求出二次型矩陣為

A=4k-2k-2k-2k4k-2k-2k-2k4k .

其順序主子式分別為4k>0，4k-2k-2k4k=12k2>0，4k-2k-2k-2k4k-2k-2k-2k4k=0，因此F(a，b，c)在(k，k，k)處取得極小值0，即F(a，b，c)≥0成立，故原不等式得證.

例2 證明不等式3(ab+bc+ac)≤(a+b+c)2，其中a，b，c為三角形的三邊長，當且僅當三角形為正三角形時等號成立.

證明 令F(a，b，c)=(a+b+c)2-3(ab+bc+ac)，

整理，可得F(a，b，c)=a2+b2+c2-ab-bc-ac.

由于F(a，b，c)本身即為二次型結構，其二次型矩陣為

A=1-12-12-121-12-12-121 .

其順序主子式分別為1>0，1-12-121=34>0，1-12-12-121-12-12-121=0，因此F(a，b，c)為半正定二次型，即F(a，b，c)≥0成立.

由Fa(a，b，c)=2a-b-c=0，Fb(a，b，c)=-a+2b-c=0，Fc(a，b，c)=-a-b+2c=0，可解得abc=k111，其中k為任意常數.因此當且僅當a=b=c時，F(a，b，c)=0，故原不等式得證.

四、結束語

以上利用微積分中多元極值方法和代數學中二次型正定性判定方法，對與三角形三邊長有關的一類幾何不等式的證明方法作了討論，并舉例說明.該方法并非是就題論題，具有一定的通用性，但是由于受到幾何不等式結構復雜性的影響，該方法并不能解決所有這類問題的證明，更通用的證明方法有待于進一步深入研究.

【參考文獻】

［1］［俄］F.M.菲赫金哥爾茨.微積分學教程（第一卷）（第8版）［M］.楊弢亮，葉彥謙，譯.北京：高等教育出版社，2009：363-365.

［2］北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002：231-237.

［3］［荷］O.Bottema.幾何不等式［M］.單尊，譯.北京：北京大學出版社，1991：1-3.

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