和同學們談談高考中的反函數

【摘要】函數是高中數學的核心內容，它貫穿于高中數學的始末，同時也是高考考查的重點與難點。本文從解決反函數常見問題的思想方法進行了分析，希望能給同學們理解和掌握本部分知識提供幫助。

【關鍵詞】高考、反函數、原函數、函數圖像、定義域、值域

反函數是高考必考知識點之一，主要是通過和選擇題，填空題來考查。本文結合近年來高考題中反函數的常見類型，舉例剖析如下，供同學們學習參考。

一、存在型

涉及函數的反函數是否存在問題的依據是“函數f（x）存在反函數”的充要條件是“函數f（x）為單調函數”。

例1.“函數f（x）（x∈R）存在反函數”是“函數f（x）在R上為增函數”的（ ）

A.充分不必要條件B.必在不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

（2009 年北京高考題）

略解：由函數f（x）存在反函數的充要條件可知，選（B）。

二、求解型

這類題型是高考考查的重點，主要指考查已知函數y=f（x）（必須存在反函數），求其反函數y=f（x），解法為反解—互換—表定義域

例2.函數y=（x>1）的反函數是（ ）

A.y=e-1（x>0）B.y=e+1（x>0）

C.y=e-1（x∈R）

（2010 年全國高考題）

解：由y=，得1n(x-1)=2y-1解得x=e+1

∴原函數的反函數是y=e+1（x∈R），故選D

對于求分段函數的反函數，先分類求解，再合并。

三、轉化型

涉及反函數的問題未必都一定求出反函數尤其是無法求出反函數（如抽象函數）或求反函數較困難時，可設法轉化避開求反函數，常見的轉化策略有如下九種。

1.互為反函數的定義域與值域的互換性；

例3.設函數y=4+log(x-1)(x≥3)，則其反函數的定義域為_________。

（2007 年江西高考題）

略解：利用函數y=4+log(x-1)(x≥3)的單調性，求其值域為[5，+∞)，由互換性可知，反函數的定義域為[5，+∞)

2.還原性：f（b）=a f（a）=b

例4.已知函數f（x）=2，f（x）是f（x）的反函數，或mn=16（m，n∈R），則f（m）+f（n）的值為（ ）。

A.-2B.1C.4D.10

（2008 年陜西高考題）

略解：令f（m）=k，f=l m=2m，n=2，

∴mn=2#8226;2=16∴k+l+6=4，∴k+l=-2

即f（m）+f（n）=-2選A

3.原函數與反函數的單調性一致

例5.設函數f（x）=（0≤x<1）的反函數為f（x）是（ ）。

A.f（x）在其定義域上是增函數且最大值為1

B.f（x）在其定義域上是減函數且最小值為0

C.f（x）在其定義域上是減函數且最大值為1

D.f（x）在其定義域上是增函數是最小值為0

（2008年天津高考題）

略解：易知f（x）=在[0，1)上單調遞增，由原函數與反函數在對應區間上的單調性一致知f（x）在其定義域上也單調遞增，而反函數的值域就是原函數的定義域可知，f（x）有最小值0，選D。

4.原函數的圖象與反函數的圖象關于直線y=x對稱

例6.設函數y=f（x）的反函數y=f（x），且y=f（2x-1）的圖象過點（，1），則y=f（x）的圖象必過點（ ）

A.（，1） B.（1，） C.（1，0） D.（0，1）

（2006年重慶高考題）

略解：由y=f（2x-1）過（，1）點可知f（0）=1，故y=f（x）過（1，0）點，選C。

四、應用型

有些數學問題表面上看不一定考查反函數知識，但若靈活運用反函數的知識，則能突破難點，優化解題思路。

例7.若函數y=f（x-1）的圖象與函數y=ln+1的圖象關于直線y=x對稱，則f（x）等于（ ）。

A.e B.e C.e D.e

（2009年全國高考題）

略解：由題意y=f（x-1）與y=ln互為反函數，由

y=ln+1 =e x=e∴f（x-1）=e

∴f（x）=e選B。

（作者單位：江蘇省東臺市三倉中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文