對一道高考題的推廣及應用

圓錐曲線是解析幾何中最重要部分，也是高考中必考的難點內容。尤其是圓錐曲線與直線的相交問題，大部分同學利用聯立方程，后用韋達定理，但這些方法計算量較大。筆者針對最近出現的高考題，談談由一道高考題所得到的結論，靈活解決一些高考題。利用圓錐曲線極坐標方程解決焦半徑問題。

考題（2010年高考數學遼寧理第20題）

設橢圓C：+=1（a>b>0）的左焦點F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，=

（1）求e。

（2）若│AB│=，求橢圓的方程。

解: （1）以F為極點，垂直于左準線的方向為極軸的正方向建立極坐標系，則圓錐曲線的統一方程為：ρ=，A（ρ，），A（ρ，）

則││=ρ= ││=ρ=∵=∴=∴e=

（2）+=1（過程略）

該題第二問的結論可以推廣為下面命題。

定理2：過橢圓左焦F點且傾斜角為a的直線l交橢圓于A、B兩點，若=λ，則e=secα。

證明：以F為極點，垂直于左準線的方向為極軸的正方向建立極坐標系，則圓錐曲線的統一方程為ρ= A（ρ，θ），B（ρ，θ）

則││=，││=

則=

則e=secα

該定理可以推廣為：過圓錐曲線焦點F且傾斜角為a的直線l交圓錐曲線于A、B兩點，若=λ，則e=secα。

注：圓錐曲線方程為標準方程，其中拋物線為y=2px（p>0）。

該定理揭示了圓錐曲線的離心率、焦半徑及過焦點的直線的傾斜角三者間的聯系，那么只要是圓錐曲線與過焦點的相交問題，就可以利用該公式去解決求圓錐曲線的離心率，焦半徑及過焦點的直線的傾斜角。在近幾年有大量這樣的高考題，下面我們來利用該定理速解相應高考題。

1.（2010年全國卷I理）已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且=2，則C的離心率為___________。

解析：取左焦點F，上頂點B

則e=secα=#8226; ∴e=

2.（2010年全國卷II理）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，過右焦點F且斜率為k的直線與C相交于A，B兩點，若=3，k=（）。

A.1 B.2 C. D.2

解析：該題直線是過焦點的直線，已知離心率及焦半徑比，求直線斜率k。

由e=secα∴=secα∴secα=∴k=tanα=

3.（2008年江西，理）過拋物線x=2py（p>0）的焦點F作傾斜角為30°的直線與拋物線分別交于A，B兩點（A在y軸左側），則=________。

解析：該題等價于“過拋物線y=2px（p>0）的焦點F作傾斜角為120°的直線與拋物線分別交于A，B兩點（A在x軸上側），則=________。

由e=secα ∴1=sec120°∴λ= ∴=

另外，筆者列舉了以下幾個例子也可以用該結論解題

1.（2009年全國卷II，理）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點為F，過且斜率為的直線交C于A、B兩點，若=4，求e。

解析：e=secα=sec60°=

2.（2008年全國卷II）已知F是拋物線C：y=4x的焦點，過F且斜率為1的直線交C于A、B兩點，設|FA|>|FB|，則|FA|與|FB|的比值等于____________。（3+2）

3.（2010年遼寧理）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的右焦點F，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，直線l的傾斜角為60°，若=2，則橢圓C的離心率為__________。（）

4.（2010年重慶）已知以F為焦點的拋物線y=4x上的兩點A、B，滿足=3，則弦AB的中點到準線的距離為________。（）

（作者單位：江西省贛縣中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文