函數(shù)定義域的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，也是高中數(shù)學(xué)的靈魂．函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域似乎非常簡單，然而若在解決函數(shù)問題中稍加不注意，常常就會誤入歧途。在多數(shù)函數(shù)問題中，起點(diǎn)并不高，解題思路自然明了，但不少學(xué)生在求解時往往由于忽視了函數(shù)的定義域而導(dǎo)致錯解。因此在解函數(shù)問題時，我們應(yīng)透徹理解函數(shù)定義域與函數(shù)其它性質(zhì)之間的關(guān)系和相互作用，重視定義域?qū)忸}的作用與影響?，F(xiàn)將平時學(xué)習(xí)中出現(xiàn)忽視“定義域”的錯誤進(jìn)行分析歸類，希望同學(xué)們能引以為戒。

一、求值域時忽視定義域

例1求函數(shù)的值域。

錯解：因?yàn)?/p>

且 ，所以函數(shù)的值域?yàn)閧y∈R|y≠1}。

剖析：出錯原因是忽視了函數(shù)的定義域，上述運(yùn)算過程中擴(kuò)大了函數(shù)的定義域。

正解：

當(dāng)x＝1時，y＝－，所以y≠－，又因?yàn)椤?，所以y≠1，

故函數(shù) 的值域?yàn)閧y|y≠1且y≠－}.

總結(jié)：若一個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系一經(jīng)確定，那么它的值域也就確定了。所以求函數(shù)的值域時應(yīng)特別注意其定義域和對應(yīng)關(guān)系。尤其是在對函數(shù)解析式進(jìn)行恒等變形時，一定要注意定義域是否發(fā)生變化。

二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時忽視定義域

例2求函數(shù)f(x)＝ 的單調(diào)區(qū)間。

錯解：設(shè)u＝x2＋x－6＝(x＋)2－ ，

∴當(dāng)x∈[－，＋∞)時，u＝x2＋x－6是增函數(shù)；當(dāng)x∈(－∞，

－]時，u＝x2＋x－6是減函數(shù)，且y＝ 在(0，＋∞)上是增函數(shù)，

所以f(x)＝ 的單調(diào)增區(qū)間為[－，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－]。

剖析：上述解法忽略了函數(shù)的定義域，從而導(dǎo)致錯誤，在解此類問題時，應(yīng)首先確定函數(shù)的定義域。

正解：因?yàn)閤滿足x2＋x－6≥0，所以x≥2，或x≤－3，

所以函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－3]∪[2，＋∞)．

而u＝x2＋x－6＝(x＋)2－ 在(－∞，－3]上是減函數(shù)，在[2，＋∞)上是增函數(shù)，

且y＝ 在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)＝ 的單調(diào)增區(qū)間為[2，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－3]。

總結(jié)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定是其定義域的子集，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要先看(或求)函數(shù)的定義域。

三、在解不等式時忽視定義域

例3已知f(x)是定義在[0，1]上的增函數(shù)，若f(a－2)－f(a2－4)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯解：原不等式可變形為f(a－2)＜f(a2－4)，因?yàn)閒(x)是定義在[0，1]上的增函數(shù)，

所以a－2＜a2－4，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．

剖析：錯解忽視了函數(shù)的定義域。事實(shí)上，應(yīng)有0≤a－2≤1且0≤a2－4≤1．

正解：原不等式可變形為f(a－2)＜f(a2－4)，又f(x)是定義在[0，1]上的增函數(shù)，

所以2＜a≤ ．

總結(jié)：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式時，除了考慮單調(diào)性外，更要考慮函數(shù)的定義域。

四、求函數(shù)解析式時忽視定義域

例4已知f(x－2)＝x2－4x＋2，x∈[－10，11]，求f(x)的解析式。

錯解：將函數(shù)變形為f(x－2)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，令u＝x－2，得f(u)＝u2－2，即f(x)＝x2－2，x∈[－10，11]。

剖析：錯解誤以為[－10，11]是函數(shù)f(x)的定義域，事實(shí)上它是y＝f(x－2)的定義域．

正解：因?yàn)閤∈[－10，11]，則－12≤x－2≤9，

將函數(shù)變形為f(x－2)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，u＝x－2，得f(u)＝u2－2，即f(x)＝x2－2，x∈[－12，9]。

總結(jié)：在用解析式法表示函數(shù)時，除了要求解函數(shù)的解析式外，更要考慮函數(shù)自變量本身的取值范圍。

五、判斷奇偶性時忽視定義域

例5判斷函數(shù)f(x)＝ 的奇偶性。

錯解：因?yàn)?，所以f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

剖析：錯解忽視了函數(shù)的定義域。

正解：因?yàn)樗裕?≤x≤2且x≠0，故x＋3＞0，從而原函數(shù)可化簡成

此時 因此f(x)是奇函數(shù)。

總結(jié)：由函數(shù)的奇偶性不難得出，判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。

通過以上例子，我們不難得出，函數(shù)的定義域在函數(shù)的三要素中起著舉足輕重的作用。因此我們在解函數(shù)的有關(guān)問題時，大腦應(yīng)時刻緊繃“函數(shù)的定義域”這根弦，這樣既有利于培養(yǎng)同學(xué)們思維的嚴(yán)密性和邏輯性，也有利于提高求解函數(shù)問題的能力和方法。

（作者單位：河北省灤南縣第一中學(xué)）