一道高考數學填空題引發的思考

情景再現：2010年江蘇高考數學填空題第11題：

已知函數 ，則滿足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x的取值范圍？

解：結合圖形可知：

∴x的取值范圍為

<點評>該題考察了分段函數的相關知識，并著重強調了對數形結合思想的應用，解法巧妙，立意深遠，做到了基礎知識和能力的完美結合，對書本教材的把握非常到位，注重能力的考察卻不失基礎！

聯想：已知分段函數 ，求f(3)的值？

解：f(3)=f(5)=f(7)=7+14=21

<點評>該題較為基本，著重考察了分段函數f(x)的定義域問題，在求值的時候要注重“段”的對應，即不同的定義域對應不同的函數解析式，同時也要注意考察函數解析式也必須要注意與定義域的對應，只有做到兩者結合才能真正掌握分段函數的精髓！

<點評>該題考察了分段函數以及對數函數的相關知識，對于基礎較好的同學來說此題并不困難！

變式②：

解：⑴當a≤-1，且滿足a+5=4時，得到a=-1

⑵當-1＜a＜3，且滿足a2=4時，得到a=2

⑶當a≥3，且滿足2a+5=4時，不存在這樣的a的值

綜上所述，我們可以得出a=-1或a=2

<點評>該題考察了分段函數的知識，同時又側重分類討論的數學思想！分類討論的思想是貫穿高中數學的一個非常重要的數學思想，值得老師、同學們注意！特別要注意在分類討論的時候要把握討論依據，精煉解題過程，完美總結收尾！

變式③：，

求滿足不等式f(1+x2)＞f(lgx)的x的取值范圍？

解：⑴當0＜x≤1時，lgx≤0，1＜x2≤2則我們可以得到：

⑵當1＜x≤10時，0＜lgx≤1，1＜1+x2則我們可以得到：

⑶當x＞10時，lgx＞1，1+x2＞1則我們可以得到：

，解得不存在這樣的x滿足條件。

綜上所述，我們可以得到的取值范圍為

<點評>該題的難度較大，首先要學會分類討論，而討論的依據則是根據對數函數的真數大于0展開討論，即考察了對數函數的真數大于0的知識點；其次，當我們確定討論依據后，如何確定函數的解析式又是本題的另一個難點，這就需要同學們有良好的基本功，做到思路明了，脈絡清晰！

變式④： ，

求滿足不等式 的x的取值范圍？

解：

設，其中x≤-1。我們通過函數的單調性知識可以非常容易判斷出

上為單調增函數，且最大值為g(-1)=0。結合J(x)的圖像我們就可以非常容易得出下列的式子：

解得

∴不等式的解集為 ，即x∈.

<點評>該題考察了函數 的單調性，但解題的時候更多的用到了函數的圖像，而且我們只需作出草圖即可，充分體現了數形結合思想的優越性，但對同學們的能力要求較高，要避免繁瑣的討論與計算，題目起點高，有較好的區分度！

簡單總結：綜合以上幾個例子，我們就可以發現數形結合以及分類討論思想在高中數學中的重要作用，在平時的教學過程中應該著重強調這方面，培養學生良好的數學思維能力以及審美能力，體會數學的美；同時，也要注意知識點與知識點之間的聯系，做到整體把握，局部攻破，以題帶點，以數學思想為核心準確把握高中教材，只有這樣才能在新課改的浪潮中立于不敗之地！

（作者單位：江蘇省上岡高級中學數學組）