如何培養和提高高三學生的數學思維能力

摘 要：本文論述了高三數學教學中應培養學生的幾種重要的數學思維能力，闡明了培養和提高高三學生數學思維能力的基本途徑和基本方法。

關鍵詞：培養和提高、數學思維、數學思維能力

作者簡介：鐘予春，男（1976-），大學，廣東省廉江市廉江中學中數一級教師。研究方向：高考數學教學。

數學思維是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）相互作用，并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動。《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：提高學生的數學思維能力是數學教育的基本目標。而學生在高三數學復習過程中不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程。這些過程是數學思維的具體表現。如何培養與提高高三學生的思維能力呢？筆者結合自身的教學體會，談談拙見。

一、高三數學教學中應培養的幾種重要的數學思維能力

根據高三學生的年齡特征及其思維的特征，在數學教學實踐中應重視培養和提高學生的邏輯思維能力和直觀思維能力，具體地說，在高三數學學習中，就是要重視培養和提高學生以下的數學思維能力：（1）對問題進行閱讀，能理清題目中的條件信息和目標信息的能力；（2）對問題或材料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維能力；（3）會用演繹、歸納、重組和類比等方法進行推斷或創新的思維能力；（4）對問題有比較敏銳的直覺思維能力和具體形象的思維能力；（5）對問題的解答能用準確、清晰、簡潔、有條理的數學語言進行表述的能力。

二、培養高三學生數學思維能力的基本途徑和基本方法

加深學生對數學概念的理解，在定理、公式、法則的教學中，重現知識思想方法的產生發展過程及運用，進行解題教學能逐步培養學生的數學思維能力，優化其思維品質。

1、加深概念的理解，可培養思維的邏輯性、深刻性和批判性

在高三的數學概念教學中，要讓學生從理解到掌握其本質與外延，注意概念的隱含條件，重視變換定義中的有關條件使概念發生變化的辨析教學；還要讓學生對易混淆是非的有關概念進行對比，明辨異同，從而加深對概念的理解，培養學生思維的深刻性和批判性。例如，在圓錐曲線的雙曲線與橢圓概念的教學中，把其定義“平面內與兩定點、的距離的差的絕對值等于常數的點軌跡”中的條件稍作改變，則點的軌跡就不再是雙曲線了。如變為：

問題1 若，則點的軌跡是什么？（雙曲線的一支）

問題2 若，則點的軌跡是什么？（兩條射線）

問題3 若=0，則點p的軌跡又是什么？（線段F1F2的垂直平分線）

問題4 ，則點的軌跡是什么？（橢圓）

問題5 ，則點的軌跡是什么？（線段）

問題6 ，則點的軌跡是什么？（不存在）

我曾經在教學中，先讓學生做如下的兩道題后:

練習1：到點兩點的距離為5的動點P的曲線軌跡為（ ）

（A）橢圓 （B）雙曲線 （C）直線 （D）線段

練習2：已知，一曲線上的動點P到距離之差為6，則雙曲線的方程為

發覺有部分學生在練習1選A或B，而C的不多；而有相當多的同學練習2的結果為或，很少有同學的為。了解原因是學生只是頭腦中有橢圓與雙曲線的定義，但是概念的隱含條件忘記了或是混淆了。在通過6個問題的對比學習，強化辨析后的考試中，出現類似的題目時，只有極少數的同學才出現錯誤。

一般地說，改變定義中的條件都會引起概念的變化。否則，在下定義時就不會附加上那樣的條件了。因此，在教學中必須加強這方面的強化辨析，這樣可大大地提高學生對數學概念的理解和運用能力，尤其是能夠大大地提高學生的思維辨析水平和創造性思維能力。

2、在數學公式、定理的教學過程中培養和提高學生的思維水平

（1）再顯定理、公式的發現過程及相互聯系，培養學生數學的形象思維與邏輯思維的能力

在高三數學公式、定理的教學過程中，不但要求學生能記憶定理公式，能把定理公式性質形象直觀化，簡言之“數形結合”，培養學生的直觀思維能力，還要求學生演繹推導公式定理的來龍去脈，挖掘其中蘊含的思想方法，從中培養學生的邏輯思維能力。把多個邏輯定理公式通過知識結構圖形形式表達出來，使學生在數學定理公式的教學過程中得到形象思維與邏輯思維的辯證結合，有效地提高學生的數學思維能力。

（2）展示定理、公式的運用過程，提高學生的思維水平

題目1：（2008年廣東卷） 已知函數的最大值是1，其圖像經過點。（1）求的解析式；

（2）已知，且求的值。

【解】（1）依題意有A=1，則，將點代入得，而，，，故（2）依題意有，而，

，，

。

解題思維過程展示：對已知條件進行數形結合的綜合分析，找出已知條件和所求問題的關系，顯然它們之間是一般與特殊的關系，然后函數的性質就可以解決問題了，并注意準確的運算，將容易求解。

教學目的透析：通過本題的教學，可培養和提高學生利用數形結合和綜合運用的綜合與分析能力，還培養了學生的數學應用意識，從而培養和提高了學生的數學思維能力。

3、通過解題教學，培養和提高學生的數學思維能力

（1）通過典型例題的教學，培養和提高學生的數學思維能力。

題目2：如果正數x，y滿足4x+y=1，那么的最小值是______ 。

解題思維過程展示：經分析已知條件，并綜合考慮相關問題可得，該題可從多角度進行求解，現只給出如下三種：

解法1：∵

∴ =

且當即時，上式取等號. 得答案為9.

解法2 ：依題意得 令 ，故

則==，

且當，即t=2時，上式取等號.得答案為9

解法3：依題設得設，則.所以得判別式

因為 ，即所以即，

當=9時，關于y的二次方程為得重根

因此，當，時，（即）取最小值9.

教學目的透析：通過此題的教學，能夠培養和發展學生的分析與綜合的數學思維能力，以及發散思維能力，運用不同的知識進行轉化求解，同時為了考查不同的知識內容各學生的情況不同進行變式訓練，可讓不同的學生在此題中進行“發掘開采”，從中培養和提高了學生創造性地運用數學知識解決問題的能力。

題目3：甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（ ）

A. 20種 B. 30種 C. 40種D. 60種

教學目的透析：通過此題的教學，可培養和發展學生用分類歸納等方法進行解題的創新思維能力，尤其是培養和發展了學生的發散和聚合的數學思維能力。當然，還培養了學生的運算能力等。

題目4: 正五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩端的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數共有 條。

教學目的透析：通過此例的教學，可培養和發展學生進行演繹推理和運算的能力，以及對問題進行觀察、分析、聯想、綜合、歸納的邏輯思維能力，尤其是發散思維能力和空間想象能力。

（2）通過一題多解、一題多變和多題一解的變式教學，培養和提高學生的發散思維能力，是培養創造性思維的能力有效途徑。

題目5: 雙曲線的兩個焦點為，若P為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為

A.(1，3) B.(1，3]

C.(3，+) D.[3，+)

解法一:(利用數形結合)，即在雙曲線右支上恒存在點P，使得由上圖可知，又e>1，選B

解法二:(利用正余弦定理)設，，當P在A右頂點處時，∵，∴，

解法三:(利用焦半徑公式)設點，則由焦半徑公式可得，故又e>1

解法四:(利用三角形三邊關系) 設，則 又（當且僅當三點共線

等號成立）

解法五:(特特殊位置排除法)由P在A點處則有: ，，即得:a+c=2(a-c)，a=3c，e=3成立，則可排除A、C， 又即P在A處時e為最大值，只有B合題意。

教學目的透析：通過此例的教學，培養在觀察抓住問題的特點不同、運用知識不同，同一問題能得到幾種不同的解法，這是“一題多解”，通過一題多解教學，可使學生認真觀察、多方聯想、恰當轉化，從而提高了學生的發散思維能力，發展了學生的思維的靈活性、變通性和獨特性，即可培養了學生的創造性思維能力。

此題可作以下的變式訓練，從而培養學生發散思維多向性：

變式1: （08年江西理7） 已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）

A．(0，1) B． C． D．

變式2:已知點F是雙曲線的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于X軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線離心率e的取值范圍是 （ ）

A．（1，+∞） B．（1，2） C．（ D．（）

變式3:已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，若此雙曲線的離心率為e，且，則e的最大值為（ ）

A． B． C． 2 D． 1

變式4:如果橢圓上存在一點P，使得點P到左準線的距離與它到右焦點的距離相等，那么橢圓的離心率的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．

變式5:已知點是雙曲線的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于X軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線離心率e的取值范圍是 （ ）

A．（1，+∞）B．（1，2）C．（ D．（）

通過變式訓練，培養學生的發散性思維，同時也激發學生探索“是否還有其他解法？”，“這些解法中那個才是最簡捷？”，“各種解法在什么條件下才能運用”等解題總結反思中去，這樣也可培養學生的識別能力、判斷力、鑒賞能力和調節解題策略能力的重要途徑，使得思維得到升華。

以上是筆者從個人的教學中的一些做法及體會，只要我們在數學教學中以培養和發展學生的數學思維能力為目標，努力進行探索和嘗試，不斷完善教學理念，改進教學方法，勇于開拓創新，就一定能夠培養新一代的創造性人才！

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.《普通高中數學課程標準》實驗.北京:人民教育出版社，2003.

[2]王林全、吳有昌.，中學數學解題研究[M].廣州.科學出版社2009.3.