有關(guān)“等積式”證明的若干方法

“等積式”的證明是幾何證明的重點(diǎn)題型之一. 本人在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)了一些“等積式”證明的若干心得，可以使“等積式”證明的思路更加有條理、更加清晰. 現(xiàn)把它分類(lèi)成如下幾種情況.

第一種：當(dāng)機(jī)立斷，直接判斷是否具備等量關(guān)系

例１ 如圖１所示，△ＡＢＣ是直角三角形，ＡＤ是斜邊ＢＣ上的高，求證：AB × AC = AD × BC.

解法一 由三角形面積的不同表示方法得等量關(guān)系，即

S =× AB × AC =× AD × BC.

解法二 把等積式轉(zhuǎn)化成比例式 = ，顯然兩組線段所在三角形相似，該比例式成立，故等積式自然成立.

比較兩種做法，結(jié)果顯而易見(jiàn)，解法二雖然可行，但多此一舉. 因此，我們?cè)谧C明等積式的時(shí)候應(yīng)該先觀察，看看所給的等積式是否有比較明顯的等量關(guān)系直接可以得出所需的結(jié)論.

第二種：尋找“等積式”的等量代換對(duì)象

例２ 如圖２ａ所示，ＡＤ是⊙Ｏ的直徑，ＢＣ切⊙Ｏ于點(diǎn)Ｄ，ＡＢ，ＡＣ與⊙Ｏ相交與點(diǎn)Ｅ，Ｆ. （1）求證：AB × AE = AF × AC；（2）若將前一題中的直線ＢＣ向上平移與⊙Ｏ相交，或向下平移與⊙Ｏ相離，此時(shí)，AB × AE = AF × AC是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由.

分析 （1）由直徑這一條件聯(lián)想到連接ＥＤ，ＦＤ，得到△ＡＥＤ∽△ＡＤＢ、△ＡＦＤ∽△ＡＤＣ，從而得到比例式 = ， = ，即AD2 = AB × AE = AF × AC. （2）若將前一題中的直線ＢＣ向上平移與⊙Ｏ相交，或向下平移與⊙Ｏ相離，此時(shí)，AB × AE = AF × AC仍然成立，如圖２ｂ，２ｃ示，同理可得：△ＡＥＤ∽△ＡＤ１Ｂ、△ＡＦＤ∽△ＡＤ１Ｃ，得 ＝ 與 ＝ ，即ＡＤ × ＡＤ１ ＝ ＡＢ × ＡＥ ＝ ＡＦ × ＡＣ.

新教材下“等積式”的證明思路還是比較單一明確的，很多時(shí)候都會(huì)借助兩個(gè)三角形相似來(lái)證明，但就是因?yàn)檫@種思維定式，很多時(shí)候我們往往會(huì)忽視了最眼前的東西，或者偏離解題的方向. 有時(shí)等積式并不一定都要轉(zhuǎn)化成比例式，或者比例式也只是中間的一個(gè)銜接過(guò)程，以上所闡述的兩種就是所指的情況. 下面所闡述的是結(jié)論要轉(zhuǎn)化成比例式的三種情況.

第三種：把等積式轉(zhuǎn)化成比例式，求證所在三角形相似

例３ 如圖３所示，在△ＡＢＤ中，∠ＢＡＤ ＝ ２∠Ｄ，且ＡＣ平分∠ＢＡＤ，求證：AB × AC = AD × BC.

分析 把等積式轉(zhuǎn)化成比例式 = ，易得ＡＢ，ＡＤ組成的△ＡＢＤ與 ＢＣ，ＡＣ組成的△ＡＢＣ相似，故成立. 但這里要注意一點(diǎn)，如果等積式轉(zhuǎn)化成的比例式不是 = ，而是其他形式的比例式也沒(méi)關(guān)系，可以根據(jù)比例式的基本性質(zhì)推得，只要能驗(yàn)證兩組線段所在的三角形相似即可.

第四種：把等積式轉(zhuǎn)化成比例式后，等量代換某條線段，再求證所在三角形相似

例４ 如圖４所示，在?荀ＡＢＣＤ中，Ｅ為邊ＡＤ延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ＢＥ交邊ＣＤ于Ｆ點(diǎn)，證明：CD × BC = AE × FC.

分析 將CD × BC = AE × FC轉(zhuǎn)化成 = ，這時(shí)發(fā)現(xiàn)找不到相似三角形，由平行四邊形對(duì)邊相等，用ＡＢ等量代換ＣＤ，變成 = 后再證所在三角形相似即可.

第五種：把等積式轉(zhuǎn)化成比例式后，等比代換，即找一個(gè)中間比

例５ 如圖５所示，點(diǎn)Ｐ是?荀ＡＢＣＤ的邊ＤＣ延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接ＡＰ交ＢＤ，ＢＣ于點(diǎn)Ｍ，Ｎ，證明：AM2 = MN × MP.

分析 將AM2 = MN × MP化成 = 后，等積式中的三條線段都出現(xiàn)在同一條直線上，不可能找到兩三角形相似，但可以找到與相等的兩條線段比，在△ＡＭＤ與△ＮＭＢ中，即 = ，也可以找到與相等的兩條線段比，在△ＰＭＤ與△ＡＭＢ中，即 = ，所以借助中間比得 = .

通過(guò)以上的分析我們得知，在解題教學(xué)中，經(jīng)常進(jìn)行教學(xué)中的反思、提煉是非常有必要的，總結(jié)出一些有效的解題模式能提高我們的解題效率，有助于提升學(xué)生解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，但一定不要生搬硬抄，否則反而會(huì)束縛數(shù)學(xué)思維.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文