利用圖形直觀 滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的有力武器，數(shù)學(xué)思想的不斷強(qiáng)化，逐步固定為一種數(shù)學(xué)觀念，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生將來觀察問題、分析問題、解決問題提供數(shù)學(xué)的思維，即用數(shù)學(xué). 作為小學(xué)生，還不懂得什么叫做數(shù)學(xué)思想，但是，小學(xué)中高年級(jí)的學(xué)生，在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，偶爾也會(huì)不自覺地運(yùn)用著各種數(shù)學(xué)思想. 如何讓數(shù)學(xué)思想在小學(xué)生中形成雛形，這是擺在各位數(shù)學(xué)老師面前的課題. 俗話說：“根深則葉茂. ”只有枝繁葉茂，方能春華秋實(shí).

小學(xué)生抽象思維能力弱，形象思維能力較強(qiáng). 因此，利用識(shí)圖教育來培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思想是一個(gè)良好的契機(jī). 下面從具體問題入手，談?wù)剢栴}中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

問題一 如圖１，已知線段ＡE上有Ｂ，Ｃ，Ｄ三點(diǎn)，問：圖中共有幾條線段？

分析 該題中蘊(yùn)含著組合思想，即圖中線段的總條數(shù)等于在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五點(diǎn)中任取兩點(diǎn)的組合數(shù)C. 給小學(xué)生講解時(shí)，不可能談組合思想，更不可能談組合數(shù)計(jì)算. 我們可以根據(jù)直觀圖形，從Ａ點(diǎn)開始依次向右數(shù)線段，Ａ點(diǎn)有４條，Ｂ點(diǎn)有３條，Ｃ點(diǎn)有２條，Ｄ點(diǎn)有１條，Ｅ點(diǎn)有０條，再求和：４ ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＋ ０ ＝ １０（條）. 這樣計(jì)數(shù)，從中體現(xiàn)了加法原理. 再換一種算法，從Ａ點(diǎn)開始向左、右兩個(gè)方向數(shù)線段，這樣每個(gè)點(diǎn)都與其他４點(diǎn)構(gòu)成４條線段，共有５個(gè)點(diǎn)，即得４ × ５ ＝ ２０，但必須注意到這種算法每１條線段被數(shù)成了２條，所以圖中線段的總條數(shù)只有２０的一半，即２０ ÷ ２ ＝ １０（條）. 這種算法同時(shí)也體現(xiàn)了乘法原理.

類似的問題還可以深化，例如：

問題二 如圖２，問：圖中共有多少個(gè)角？

問題三 如圖３，問：圖中共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？

問題四 如圖４，問：圖中共有多少個(gè)三角形？

問題五 如圖５，問：圖中共有多少個(gè)角（小于平角的角）？

這種形式上的改編，不但可以讓類比思想在小學(xué)生頭腦中生根，更可以讓小學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美.

問題六 如圖６，一只螞蟻沿長(zhǎng)方形格的邊線從Ａ點(diǎn)爬行至Ｈ點(diǎn)，問：最短的線路有幾條？

分析 該題蘊(yùn)含著運(yùn)籌思想，同時(shí)體現(xiàn)出加法原理. 螞蟻從Ａ點(diǎn)分別爬行至Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ點(diǎn)的最短路線都是１條，因此從Ａ→Ｐ的最短路線是Ａ→Ｂ→Ｐ和Ａ→Ｄ→Ｐ，即１ ＋ １ ＝ ２（條）. 于是從Ａ→Ｆ最短路線是Ａ→Ｅ→Ｆ和Ａ→Ｐ→Ｆ，即１ ＋ ２ ＝ ３（條）. 同理，Ａ→Ｇ的最短路線也有３條. 因此從Ａ→Ｈ的最短路線分別是Ａ→Ｇ→Ｈ和Ａ→Ｆ→Ｈ，故為 ３ ＋ ３ ＝ ６（條）. 所以，從Ａ→Ｈ的最短路線有６條.

問題七 如圖７，問：圖中共有多少個(gè)平行四邊形？

分析 該題體現(xiàn)的是乘法原理，ＡＨ邊上有３個(gè)點(diǎn)，根據(jù)問題三，有１０“層”平行四邊形，在ＡＤ邊上有２個(gè)點(diǎn)，同樣結(jié)合問題三，每“層”的平行四邊形個(gè)數(shù)為３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ６. 于是平行四邊形的總個(gè)數(shù)為６ × １０ ＝ ６０（個(gè)）.

如果將問題六、七綜合起來，可得：

問題八 如圖８，一只螞蟻沿長(zhǎng)方形格邊線和ＢＣ線段從Ａ點(diǎn)爬行至Ｄ點(diǎn)，問：最短的路線有幾條？

這樣的拓寬引申，問題中既蘊(yùn)含了加法原理又蘊(yùn)含了乘法原理. 由問題六可知，從Ａ→Ｂ最短路線有６條，Ｂ→Ｃ最短路線有１條，因此從Ａ→Ｃ最短路線有６ × １ ＝ ６（條），而Ｃ→Ｄ的最短路線有６條（同問題六），所以，Ａ→Ｄ最短路線為６ × ６＝ ３６（條）. 這樣的逐步加深，同時(shí)也有利于學(xué)生弄清加法原理和乘法原理的區(qū)別.

問題九 如圖９，問：圖中共有多少個(gè)三角形？

將以上出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法融合起來，解決問題九便是一件容易的事，否則，很難正確解答. 首先，解決圖１０中的三角形個(gè)數(shù). 運(yùn)用分類思想，按照三角形“大小”分類，△ABC級(jí)僅１個(gè)，△ABE級(jí)６個(gè)，△ABP級(jí)３個(gè)，△ADP級(jí)６個(gè)，共１６個(gè). 其次，運(yùn)用類比思想，圖９中△DEF里的三角形個(gè)數(shù)與圖１０一樣多，也是１６個(gè). 再次，從圖１０到圖９增加了三條線段ＤＥ，ＥＦ，ＦＤ，每增加一條線段，帶來沒有計(jì)數(shù)過的三角形５個(gè)，如線DE段，帶來的三角形是△BDE中的３個(gè)及△DEA和△DEC，故又增加３ × ５ ＝ １５（個(gè)）. 于是得到圖９中三角形個(gè)數(shù)為１６ ＋ １６ ＋ １５ ＝ ４７（個(gè)）.

加法原理又名分類計(jì)數(shù)原理，乘法原理又名分步計(jì)數(shù)原理，一字之差，揭示出加法與乘法的本質(zhì). 分類思想，類比思想都是常見的數(shù)學(xué)思想，利用圖形直觀及早在小學(xué)生中滲透，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)修養(yǎng)的提高有一定的益處.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文