滲透數(shù)學(xué)思想 培養(yǎng)學(xué)生能力

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略. 只有充分掌握領(lǐng)會(huì)，才能有效地應(yīng)用知識(shí)，形成能力. 初中涉及的數(shù)學(xué)思想有三十多種，這里就談一談幾種主要的數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)的重要作用.

一、滲透用字母表示數(shù)的思想，培養(yǎng)學(xué)生抽象推理能力

小學(xué)升到初中在數(shù)上質(zhì)的變化就是用符號(hào)表示數(shù)字，實(shí)現(xiàn)從算術(shù)到代數(shù)式的一個(gè)飛躍. 學(xué)生從進(jìn)初中七年級(jí)開始學(xué)習(xí)字母表示數(shù)，如：張強(qiáng)比王華大３歲．當(dāng)張強(qiáng)８歲時(shí)，王華的年齡是 歲；當(dāng)張強(qiáng)ａ歲時(shí)，王華的年齡是 歲. 如果張強(qiáng)是（ｎ － ２）歲，那王華是 歲. 此時(shí)，把具體的數(shù)據(jù)用含ｎ的代數(shù)式表示，有的是一個(gè)感性的認(rèn)識(shí). 從列方程或不等式解決實(shí)際問題中各個(gè)量用含字母的代數(shù)式表示，而后求出所需值，到函數(shù)的表示，用字母來表示不確定的、變化的量，把這種規(guī)律用特定的符號(hào)來表示，可以說字母表示數(shù)貫穿整個(gè)初中階段.

二、滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖形結(jié)合起來解決問題的一種思維方式. 著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微. ”初中階段最常見、最典型的是函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合.

如：如圖，lA，lB分別表示Ａ步行與Ｂ騎車在同一條路上行駛的路程ｓ與時(shí)間ｔ之間的關(guān)系.

（１）Ｂ出發(fā)時(shí)與Ａ相距千米 .

（２）走了一段路后，自行車發(fā)生故障，進(jìn)行修理，所用的時(shí)間是

小時(shí).

（３）Ｂ出發(fā)后 小時(shí)與Ａ相遇.

（４）若Ｂ的自行車不發(fā)生故障，保持出發(fā)時(shí)的速度前進(jìn)， 小時(shí)后與Ａ相遇，相遇點(diǎn)離Ｂ的出發(fā)點(diǎn) 千米. 在圖中表示出這個(gè)相遇點(diǎn)Ｃ.

（５）求出Ａ行走的路程ｓ與時(shí)間ｔ之間的函數(shù)關(guān)系式.

要解決這里的所有問題，首先要讓學(xué)生明確：橫縱坐標(biāo)表示什么，縱坐標(biāo)為７．５時(shí)，橫坐標(biāo)從０．５到１．５這一段水平的線段表示什么，lA與lB交點(diǎn)表示什么，從幾何圖上去挖掘代數(shù)的意義. 其實(shí)在函數(shù)的教學(xué)中，自始至終都要貫穿著數(shù)形的結(jié)合. 當(dāng)然初中階段數(shù)形結(jié)合除了函數(shù)還有很多地方，如數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，《圓》一章中，點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等都是化為數(shù)量關(guān)系來處理的. 三、滲透類比思想，培養(yǎng)學(xué)生全面觀察事物的能力

初中數(shù)學(xué)教學(xué)類比思想是較常運(yùn)用的學(xué)習(xí)方法. 在教學(xué)反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們通常先復(fù)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)，教師出示一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)圖像，并列出一次函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生觀察，仿照一次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行小組交流等活動(dòng)，試說一說反比例函數(shù)性質(zhì). 在這里，既有相同之處—按比例系數(shù)ｋ的正負(fù)性討論直線（或曲線）的增減性，又有不同之處—由于反比例函數(shù)的圖像雙曲線是分布在不同象限內(nèi)的，所以要分象限討論，而直線則不用. 類比學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)共性容易接受，對(duì)不同之處也印象深刻，培養(yǎng)了學(xué)生全面觀察事物異同的能力.

四、滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生全面分析問題的能力

分類討論在初中數(shù)學(xué)中尤為重要. 一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：一是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題. 如幾何中的一些動(dòng)點(diǎn)問題.

如：如圖，在△ＡＢＣ中，ＢＡ ＝ ＢＣ ＝ ２０ ｃｍ，ＡＣ ＝ ３０ ｃｍ，點(diǎn)Ｐ從點(diǎn)Ａ出發(fā)，沿ＡＢ以每秒 ２ ｃｍ的速度向Ｂ點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Ｑ從點(diǎn)Ｃ出發(fā)，沿ＣＡ以每秒３ ｃｍ的速度向點(diǎn)Ａ運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ｘ秒.

（１）以點(diǎn)Ａ，Ｐ，Ｑ為頂點(diǎn)的三角形能否與△ＣＱＢ相似？若能，求出此時(shí)ＡＰ的長；若不能，請說明理由.

（２）當(dāng)ｘ為何值時(shí)，△ＡＰＱ為等腰三角形？

第（１）小題，根據(jù)ＡＰ的對(duì)應(yīng)邊分別為ＣＢ和ＣＱ兩種情況，分類討論. 第（２）小題題目中未確定哪兩條是腰，所以分ＡＰ ＝ ＡＱ，ＰＡ ＝ ＰＱ，ＱＰ ＝ ＱＡ三種情況討論. 而對(duì)于每一種情況得出的結(jié)果，還要檢驗(yàn)是否合意.

二是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題. 如：當(dāng)ｋ為何值時(shí)，關(guān)于ｘ的方程ｋｘ２ － （２ｋ ＋ １）ｘ ＋ ｋ ＋ ３ ＝ ０有實(shí)數(shù)根？讀完題目，學(xué)生第一反應(yīng)是Δ≥０，求ｋ的取值范圍，并保證二次項(xiàng)系數(shù)ｋ ≠ ０. 但是此處題目并未說原方程是一元二次方程，所以還是應(yīng)分情況討論，如果是一元一次方程，ｋ ＝ ０，－（２ｋ ＋ １） ≠ ０時(shí)，原方程是否有解？一元二次方程時(shí)如何？最后對(duì)討論情況進(jìn)行總結(jié). 在這里，學(xué)生往往容易遺漏一元一次方程的情況. 所以讀題要仔細(xì)，考慮問題要全面，要培養(yǎng)全面分析問題的能力.

五、滲透化歸與轉(zhuǎn)換的思想，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力

化歸與轉(zhuǎn)化是指將復(fù)雜的、難解（待解決）的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的或易于解決的問題來解決. 幾何問題中，很多數(shù)學(xué)問題也是來自于生活，都是用語言來描述的，此時(shí)，我們需要把它“化”變成圖形進(jìn)行分析，即把實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，把所學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)無法解決的問題轉(zhuǎn)換為已學(xué)知識(shí)來解決. 這一點(diǎn)，在函數(shù)的應(yīng)用中較為明顯. 如二次函數(shù)的應(yīng)用中，一位老師是這樣上的：（１）一段科比投籃的錄像. （２）提出問題：①一場ＮＢＡ籃球塞中，科比跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高ｍ，與籃球筐的水平距離為８ ｍ，當(dāng)球出手后水平距離為４ ｍ時(shí)達(dá)到最大高度４ ｍ，若籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃球中心距離地面３ ｍ，問：此次投籃是否成功？

本題就需要把實(shí)際問題化歸成幾何問題來解決，根據(jù)題意自己建立合適的直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中求出函數(shù)解析式，再求籃筐這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否在這個(gè)拋物線上. 本題結(jié)果是投籃不成功，所以緊跟出第二問：②假如出手的角度和力度不變，怎么才能投中？提出解決方案時(shí)出于本題難度較大，一般我們會(huì)直接把問題引向幾何問題. 方案一：往上跳高多少米？或者方案二：人往前平移多少米？

可見，一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)成了在我們能力范圍內(nèi)能解決的數(shù)學(xué)問題. 數(shù)學(xué)本身就是來源于生活，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，本身就是一個(gè)把新知轉(zhuǎn)化為舊知，用已有知識(shí)服務(wù)于生活的過程. 化歸與轉(zhuǎn)換的思想方法的訓(xùn)練，將會(huì)大大的有利于培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

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