探究.體驗.應用.思維

【摘要】 在課堂教學中，教師充分發揮主導作用，引導學生積極參與教學活動，創設趣味的數學情境，激發學生的主動性和探究意識，通過觀察、實踐、交流、歸納等方式，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，使學生在探究中鍛煉思維，在體驗中學習感悟，在知識應用中解決問題．

【關鍵詞】 探究；體驗；應用；思維

美國教育心理學家布魯納認為，教學應以培養研究性思維為目標，使學生通過體驗所學概念、原理形成過程及問題解決過程發展思維，學會學習． 數學課程標準強調：從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，并進行解釋和應用，使學生在獲得數學知識的同時，在思維能力、情感態度和價值觀等多方面得到進步和發展． 而在我們實際的教學過程中，教師往往只注重概念、公式、性質、定理的灌輸和記憶式地應用，忽視了對學生進行知識的形成過程的探究和數學思想方法、思維品質的培養，學生沒有積極參與到實踐、觀察、探索、思維、討論等各種有意義的教學活動之中，使得學生實踐和創新能力得不到充分的發展． 因此教師要從根本上轉變觀念，思考如何發揮主導作用，調動學生學習積極性，培養學生自主探究能力，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，不斷提高解決問題的能力． 針對以上問題，本文以《完全平方公式》這堂數學課為例談一談筆者的一些做法和體會．

一、創設情境，讓學生主動發現、探究新知

片段１ 在本節課開頭，教師首先用多媒體展示了一個“幫幫國王”的小故事來創設問題情境：國王要對兩個有功的農夫獎賞，原來各有一塊邊長為ａ米的正方形土地，第一個農夫對國王說：“您可不可以再給我一塊邊長為ｂ米的正方形土地呢？”國王答應了他，第二個農夫說：“我只要您把我原來的那塊地的邊長增加ｂ米就好了． ”國王想不通，問：“你們倆的要求不是一樣的嗎？”師：同學們，你覺得兩個農夫的要求是一樣的嗎？哪個農夫要的土地大？生：思考． 師：這是一個什么樣的數學問題呢？生１：第一個農夫要的土地是ａ２ ＋ ｂ２，第二個農夫要的土地是（ａ ＋ ｂ）２，兩者不同． 師：ａ２ ＋ ｂ２和（ａ ＋ ｂ）2為什么不同呢？生１：用特殊值代進代數式計算可知不同，如設ａ ＝ １，ｂ ＝ ２，則ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ５，而（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ９，所以ａ２ ＋ ｂ２ ≠ （ａ ＋ ｂ）2．

生２：根據乘方的意義（ａ ＋ ｂ）２ ＝ （ａ ＋ ｂ）（ａ ＋ ｂ） ＝ ａ２ ＋ ａｂ ＋ ｂａ ＋ ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２，所以ａ２ ＋ ｂ２ ≠ （ａ ＋ ｂ）２．

生３：畫出圖形，顯然ａ２ ＋ ｂ２ ≠ （ａ ＋ ｂ）２．

反思 興趣是最好的老師． 建構主義理論認為，學生在學習數學的過程中，大腦并不是被動地學習和記錄輸入的信息，而是主動地對輸入的信息進行加工、整理、儲存和提取． 因此，在數學教學中，首先應強調的是學生的主動參與，必須讓學生自己動腦、動手、親自經歷這個過程，才能完成認知的建構． 本節課一開始，教師將抽象、枯燥的數學融入有趣的故事中，用多媒體展示出來，情境的引入就能牢牢地吸引學生的注意力，使其集中精力、全神貫注地投入到學習過程中來，啟發學生從生活情境中抽象出數學問題，點燃學生積極思維的火花，使學生情不自禁地展開交流與探究．

二、組織引導，讓學生積極參與、體驗過程

片段２ 通過開頭對問題情境的探討，學生已經發現完全平方公式：（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２的驗證過程，第一種方法是把（ａ ＋ ｂ）2轉化成多項式的乘法，計算即可得完全平方公式；第二種方法把圖形分割可知驗證公式成立．

師：通過剛才的學習，你知道如何計算（ａ － ｂ）２嗎？

生１：（ａ － ｂ）２＝（ａ － ｂ）（ａ － ｂ） ＝ ａ２ － ａｂ － ｂａ ＋ ｂ２ ＝ ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２

生２：（ａ － ｂ）２ ＝ ［ａ ＋ （－ｂ）］２ ＝ ａ２ ＋ ２ａ（－ｂ） ＋ （－ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２

師：類比（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２，你能用圖形解釋（ａ － ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２嗎？

生：思考，并動手實踐，小組交流展示．

……

師：同學們回答得非常好，能把未知的知識向已知的知識進行轉化． 下面我們總結一下剛才得到的兩個公式（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２（ａ － ｂ）２ ＝ ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２我們把它們稱為完全平方公式．

……

片段３ 在得到完全平方公式并把公式進行應用后，教師進一步引導學生利用已經學過的內容計算探索新的公式，體會轉化和整體思想，并鼓勵學生采用拼圖或畫圖的方法探求公式的幾何解釋．

師：你會計算（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２嗎？

生１：（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ ＝ ［（ａ ＋ ｂ） ＋ ｃ］２

＝ （ａ ＋ ｂ）２ ＋ ２（ａ ＋ ｂ）ｃ ＋ ｃ２

＝ ａ２ ＋ ２ａｂ ＋ ｂ２ ＋ ２ａｃ ＋ ２ｂｃ ＋ ｃ２

＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＋ ２ａｂ ＋ ２ｂｃ ＋ ２ａｃ

生２：（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ｃ）（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）

＝ ａ２ ＋ ａｂ ＋ ａｃ ＋ ａｂ ＋ ｂ２ ＋ ｂｃ ＋ ａｃ ＋ ｂｃ ＋ ｃ２

＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＋ ２ａｂ ＋ ２ｂｃ ＋ ２ａｃ

生３：畫出圖形即得計算結果．

反思 體驗是構建知識的橋梁． 體驗就是強調學生的參與性和實踐性，讓學生參與教學全過程，通過自身的實踐活動構建屬于自己的知識結構． 學生可通過動手做、動眼看、動腦想、動口說，全身心的參與到教學實踐活動中. 數學學習是學生主動的活動過程，學生用自己的活動建立對人類已有的數學知識的理解，就應讓學生主動探索，體驗知識發生的過程，這既是為了讓學生了解知識的來龍去脈，又是為了讓學生在知識發生的過程中學會思考、創新的方法，培養數學思維能力，使他們在學習中學會探究，探究中得到體驗，體驗中得到個體的發展． 例如：在推導差的平方公式時，教師只要扮演組織引導的角色，把主動權交給學生，讓他們去思考如何解決新的問題，使學生不僅運用了新的知識，又加深了對知識的理解，還發展了學生的類比、轉化、數形結合等數學思想． 通過學生積極有效參與數學活動，主動探索，體驗了知識產生的過程，學生的動手能力、觀察能力以及歸納總結能力從中得到了培養．

三、指導點撥，讓學生應用知識、解決問題

片段４ 在公式運用，課堂練習環節，教師讓幾名學生板演．

計算：①（５ ＋ ３ｐ）２；②（２ｘ － ７ｙ）２；③（－２ａ － ５ ）２.

操作：讓全班學生動手計算，并板演，然后請學生點評，糾正錯誤并歸納注意點．教師觀察一部分學生的計算過程發現以下錯誤：（１）（３ｐ）2和（7y）2等有的未加括號，有的未化簡；（2）對于第③的計算有多種方法，教師一一作演示．

生１：（－２ａ － ５）２ ＝ ［（－２ａ） － ５］２ ＝ （－２ａ）２ － ２（－２ａ） × ５ ＋ ５２ ＝ ４ａ２ ＋ ２０ａ ＋ ２５.

生２：（－２ａ － ５）２ ＝ ［（－２ａ） ＋ （－５）］２ ＝ （－２）２ ＋ ２（－２ａ） × （－５） ＋ （－５）２ ＝ ４ａ２ ＋ ２０ａ ＋ ２５.

生３：（－２ａ － ５）２ ＝ ［－（２ａ ＋ ５）２ ＝ （２ａ ＋ ５）２ ＝ ４ａ２ ＋ ２０ａ ＋ ２５.

師：以上解法，你最喜歡哪一種？

生：第三種！

師：（－２ａ － ５）２ ＝ ［－（２ａ ＋ ５）２］ ＝ （２ａ ＋ ５）２ ＝ ４ａ２ ＋ ２０ａ ＋ ２５，從這個解題過程可知：（－２ａ － ５）２ ＝ （２ａ ＋ ５）２，請同學們觀察一下，－２ａ － ５與２ａ ＋ ５是什么關系？你發現什么規律？

生４：-2a - 5與2a + 5是互為相反數的關系．

生５：如果兩個代數式互為相反數，那么它們的平方的結果相等．

師：計算（－２ａ ＋ ５）２，然后向大家介紹你的做法．

生６：（－２ａ ＋ ５）２ ＝ ［－（２ａ － ５）］２ ＝ （２ａ － ５）２ ＝ ４ａ２ － ２０ａ ＋ ２５.

（－２ａ ＋ ５）２ ＝ （５ － ２ａ）２ ＝ ２５ － ２０ａ ＋ ４ａ2.

師：你們認為哪種做法簡單？為什么？

師：總結一下，按照符號分類，利用完全平方公式計算的題目有哪幾種？你分別怎么解決？

生：小組交流，各抒己見．

反思 在課堂教學中，教師要根據教學進程和學生反應進行有效的指導與點撥，教師的點撥適時、必要、有效． 如在學生應用完全平方公式計算的過程中，教師要及時觀察學生的各種反應，分析他們的思維狀態和概念水平，捕捉各種思維現象，及時糾正學生思路和方法上的錯誤，并分析原因，有針對性地指導學生進行討論和探究． 在完全平方公式的應用中，要放手讓學生操作、比較、爭論、分析歸納，課堂上百家爭鳴、百花齊放，使不同層次的學生都得到了不同的發展．

教師是主導，學生才是學習的主體，教師的“導”只有通過學生積極主動地學習才能發揮其應有的作用． 教師在課堂教學過程中，要盡可能地留給學生思考問題的空間，增加學生獨立活動的機會，對一些問題盡可能地讓學生討論、發表他們的見解，學生能經過思考回答的問題一定讓學生經過思考后回答，鼓勵學生自己提出問題并解決問題，把學生的學習活動置于教師的啟發引導下． 由于學生之間存在個體差異，教學中必然出現各層次學生參與程度、學習效果、所遇困難等不同的現象． 因此，教師在學生獨立學習活動中，應巡回指導檢查，要特別注意“學困生”，善于捕捉學生的問題，及時了解不同層次學生對所學內容的理解程度，獲取整體情況，以便因勢利導，分層施教．

四、總結反思，讓學生加深理解、活躍思維

片段５ 在公式運用之后，教師又出了一組題，讓學生進一步熟練公式，消化鞏固，加深理解．

１． 下列等式是否成立？ 說明理由．

① （４ａ － ３ｂ）２ ；② （－２ｘ３ ＋ ５ｙ）２；

③ （－４ｍ － ｎ）2 ；④ （－ｘｙ － １）（ｘｙ ＋ １）.

２． 用完全平方公式計算：9982

３． 合作交流：

（1）本節課我們學習了什么內容？

（2）在應用完全平方公式解題過程中我們應注意什么問題？

（3）從公式的探究到應用過程中你體會到了哪些數學方法和數學思想？請舉例說明．

反思 在總結反思環節，教師要引導學生對自己的思維活動過程進行回顧，以獲取學習的經驗或教訓． 教師首先啟發、引導學生對本節課進行總結，然后進行必要的補充． 在總結時，一是要總結出本節課所講授的概念、定理、公式等理論性的知識，二是通過知識的發生、發展、應用過程，體會到其中所用的數學思想、數學解題方法和技巧． 學生通過對所學知識的歸納和總結，可加深對所學知識的理解和完成對所學知識的新建構．

在本節課中，教師通過創設趣味的教學情境，使學生圍繞某個問題進行探究，讓學生充分動手做、動眼看、動腦想、動口說，全身心的參與教學活動，在探究中鍛煉思維，在體驗中學習感悟，在知識應用中解決問題，從而使學生真正體會到學數學的快樂、做數學的過程和用數學的意義．

總之，數學教師要在教學過程中引導學生積極參與教學活動，以科學探究為突破口，激發學生的主動性和探究意識，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，培養學生的數學思維能力，從而更好地理解數學知識的意義，掌握必要的基礎知識與基本技能，增強學好數學的愿望和信心．

【參考文獻】

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［２］ 張奠宙，宋乃慶．數學教育概論．北京：高等教育出版社，２００４．１０.

［３］ ［美］布魯納教育過程（邵瑞珍譯）．北京：文化教育出版社，１９８２．６.

［４］ 李德梅．發揮學生的主體參與作用，提高數學課堂教學效率．中學數學教學研究，２００６.

［５］ 翁凱慶，馬岷興．研究性教學探索．數學教育學報，２０００（２）.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文