中考數學動點問題研究

近年來，中考數學中的動點問題成為考查學生的熱點題型，這類題型不僅涉及知識點多，而且能將幾何知識和代數知識緊密結合，既考查了學生的基本運算能力、又考查了學生的思維能力和空間想象能力，較綜合地體現了中考數學對學生的素質要求. 但是由于這類題型往往信息較多，綜合難度較大，學生得分情況很不理想.如何在平時教學中逐步滲透，培養學生認識、分析此類題型的能力，理解動與靜的辯證關系，達到提高思維品質的目的，成為我們一線教師的值得思考的問題.

１． 動與靜的哲學關系

解決好動與靜的關系，是解決動點問題的關鍵所在，動與靜的哲學關系正如赫拉克利特所說：“這個世界，對于一切存在物都是一樣的，它不是任何神所創造的，也不是任何人所創造的；它過去、現在、未來永遠是一團永恒的活火，在一定的分寸上燃燒，在一定的分寸上熄滅.”運動是永恒的，靜止則是相對的，動中有靜，靜中有動，二者相互依存，相互制約，相互統一.

２． 動點問題的解題策略

有的學者將動點問題分為動點型、動線型，動點又分為單動點、雙動點，這種分類可能更為詳細，但未免有些機械，筆者認為處理動點問題的原則是復雜問題簡單化，動態問題靜態化，“動中取靜”，處理好特定時間點的變量關系.

例 （２００７河北）如圖1，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ ＝ ＤＣ ＝ ５０，ＡＤ ＝ ７５，ＢＣ ＝ １３５. 點Ｐ從點Ｂ出發沿折線段ＢＡ－ＡＤ－ＤＣ以每秒５個單位長的速度向點Ｃ勻速運動；點Ｑ從點Ｃ出發沿線段ＣＢ方向以每秒３個單位長的速度勻速運動，過點Ｑ向上作射線ＱＫ⊥ＢＣ，交折線段ＣＤ－ＤＡ－ＡＢ于點Ｅ. 點Ｐ，Ｑ同時開始運動，當點Ｐ與點Ｃ重合時停止運動，點Ｑ也隨之停止. 設點Ｐ，Ｑ運動的時間是ｔ秒（ｔ ＞ ０）.

（１）當點Ｐ到達終點Ｃ時，求ｔ的值，并指出此時ＢＱ的長.

（２）當點Ｐ運動到ＡＤ上時，ｔ為何值能使ＰＱ∥ＤＣ？

（３）設射線ＱＫ掃過梯形ＡＢＣＤ的面積為Ｓ，分別求出點Ｅ運動到ＣＤ，ＤＡ上時，Ｓ與ｔ的函數關系式.（不必寫出ｔ的取值范圍）

（４）△ＰＱＥ能否成為直角三角形？若能，寫出ｔ的取值范圍；若不能，請說明理由.

解 （１）ｔ ＝ （５０ ＋ ７５ ＋ ５０） ÷ ５ ＝ ３５（秒）時，點Ｐ到達終點Ｃ，此時，ＱＣ ＝ ３５ × ３ ＝ １０５，∴ＢＱ的長為１３５ － １０５ ＝ ３０.

評析 第一問較為簡單，路程１７５，運動速度每秒５個單位，時間很容易得到，學生得分情況較好.

（２）如圖2，若ＰＱ∥ＤＣ，又ＡＤ∥ＢＣ，則四邊形ＰＱＣＤ 為平行四邊形，從而ＰＤ ＝ ＱＣ，由ＱＣ ＝ ３ｔ，ＢＡ ＋ ＡＰ ＝ ５ｔ，

得５０ ＋ ７５ － ５ｔ ＝ ３ｔ，解得ｔ ＝ .

經檢驗，當ｔ ＝時，有ＰＱ∥ＤＣ.

評析 第二問在第一問的基礎上上了一個臺階，首先要求學生再仔細審題，進而畫出圖2. 其次，要使得四邊形ＰＱＣＤ 為平行四邊形，則要求學生會用含有ｔ的代數式表示ＰＤ與ＱＣ. 最后求出ｔ的值.

（３）①當點Ｅ在ＣＤ上運動時，如圖3. 分別過點Ａ，Ｄ作ＡＦ⊥ＢＣ于點Ｆ，ＤＨ⊥ＢＣ于點Ｈ，則四邊形ＡＤＨＦ為矩形，且△ＡＢＦ≌△ＤＣＨ，從而ＦＨ ＝ＡＤ ＝ ７５，于是ＢＦ ＝ ＣＨ ＝ ３０.

∴ ＤＨ ＝ ＡＦ ＝ ４０.

又ＱＣ ＝ ３ｔ，從而ＱＥ ＝ ＱＣ#8226;ｔａｎ Ｃ ＝ ３ｔ#8226; ＝ ４ｔ.

∴ Ｓ ＝ Ｓ△ＱＣＥ ＝ ＱＥ#8226;ＱＣ ＝ ６ｔ２.

②當點Ｅ在ＤＡ上運動時，如圖2，過點Ｄ作ＤＨ⊥ＢＣ于點Ｈ，由①知ＤＨ ＝ ４０，ＣＨ ＝ ３０，又ＱＣ ＝ ３ｔ，從而ＥＤ ＝ ＱＨ ＝ ＱＣ － ＣＨ ＝ ３ｔ － ３０.

∴ Ｓ＝ Ｓ梯形ＱＣＤＥ ＝ （ＥＤ ＋ ＱＣ）ＤＨ ＝ １２０ ｔ － ６００.

評析 第三問主要考查學生分類討論的思想，對用含有ｔ的代數式表示線段的要求有了進一步的提高.

（４）△ＰＱＥ能成為直角三角形. 當△ＰＱＥ為直角三角形時，ｔ的取值范圍是０ ＜ ｔ ≤ ２５且ｔ ≠ 或ｔ ＝ ３５.

解法如下：

①當點Ｐ在ＢＡ（包括點Ａ）上，即０ ＜ ｔ ≤ １０時，如圖3. 過點Ｐ作ＰＧ⊥ＢＣ于點Ｇ ，則ＰＧ ＝ ＰＢ#8226;ｓｉｎ Ｂ ＝ ４ｔ，又有ＱＥ ＝ ４ｔ ＝ ＰＧ，易得四邊形ＰＧＱＥ為矩形，此時△ＰＱＥ總能成為直角三角形.

②當點Ｐ，Ｅ都在ＡＤ（不包括點Ａ但包括點Ｄ）上，即１０ ＜ ｔ ≤ ２５時，如圖2. 由ＱＫ⊥ＢＣ和ＡＤ∥ＢＣ可知，此時，△ＰＱＥ為直角三角形，但點Ｐ，Ｅ不能重合，即５ｔ － ５０ ＋ ３ｔ － ３０ ≠ ７５，解得ｔ ≠ .

③當點Ｐ在ＤＣ上（不包括點Ｄ但包括點Ｃ），即２５ ＜ ｔ ≤ ３５時，如圖4.

由ＥＤ ＞ ２５ × ３ － ３０ ＝ ４５，可知，點Ｐ在以ＱＥ ＝ ４０為直徑的圓的外部，故∠ＥＰＱ不會是直角. 由∠ＰＥＱ ＜ ∠ＤＥＱ可知∠ＰＥＱ一定是銳角. 對于∠ＰＱＥ，∠ＰＱＥ ≤ ∠ＣＱＥ，只有當點Ｐ與Ｃ重合，即ｔ ＝ ３５時，如圖5，∠ＰＱＥ ＝ ９０°，△ＰＱＥ為直角三角形.

綜上所述，當△ＰＱＥ為直角三角形時，ｔ的取值范圍是０ ＜ ｔ ≤ ２５且ｔ ≠ 或ｔ ＝ ３５.

評析 第四問的要求最高，達到了選拔學生的目的，分類討論情況更為復雜，自變量的取值范圍更加細化.

復雜問題簡單化——審題要細，盡量從題目中提取有用信息，化繁為簡，數形結合，從文字到圖形，再從圖形到文字，深入、細致地考慮問題.

動態問題靜態化——找出特定時間，特定圖形的變量關系. 如上題中第二問“ｔ為何值能使ＰＱ∥ＤＣ”只有一個時間點，就是使得四邊形ＰＱＣＤ 為平行四邊形時，而此時，又有ＰＤ ＝ ＱＣ ，進而可求ｔ.

３． 教學建議

動態幾何題型多樣，涉及知識點多，包括圖形的平移、翻轉、剪切、拼接都可以歸為此類. 如何使得學生在三年數學學習中不斷提高數學思維品質，提高學生處理此類問題的能力，建議如下；

３．１ 重視基礎知識和基本技能的培養和訓練，俗話說：“萬丈高樓平地起”. 沒有堅實的基礎，想解決此類問題只能是癡人說夢.

３．２重視學生的探究活動，不要將探究課的教學流于形式，新教材中雖然非常重視學生的自主探究，但往往由于此類課程對學生要求較高（課前要準備，課上要小組討論，課后要形成書面結論），占用課時較多，課堂節奏較難把握，很多老師不愿上這樣的課，但恰恰是這種課給學生提供了“動手實驗，操作”的機會，激發了學生的學習熱情，積累了數學活動的經驗.

３．３重視多媒體的應用. 在講解北師大版九年級下冊第二章——二次函數時，我利用幾何畫板的演示使得學生對于二次函數的性質有了深刻的理解，開口的大小變化的同時，系數ａ也在不停地變化，這正是動態幾何的理念在日常教學中對學生的滲透.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文