淺淡數學解題中的常見方法

【摘要】 數學解題中要提高效率必須講究方法，本文主要對常用的解題方法加以總結，有直觀化、整體化、特殊化、一般化、間接化.

【關鍵詞】 直觀化；整體化；特殊化；一般化；間接化

在學習數學中，解題是一個必不可少的環節. 解題過程又是一個思維過程，每次要求思維一定成功，思路暢通無阻是不現實的. 為了使思路更加活潑，進一步提高探索的成效，還必須講究方法. 就解題的本原而論，一切方法的基本出發點在于變換. 即把面臨的問題轉化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考查，發現原題的解題思路，最終達到解決原題的目的.

基于這樣的認識，本人對常用的解題方法加以總結，有直觀化、整體化、特殊化、一般化、間接化. 下面就加以簡單介紹：

一、直觀化

一般說來，數學中的圖表、圖形和圖像，具有形象直觀的特征. 因此，用直觀化探索解題途徑，可以從題目的實際情形出發，構造出便于溝通題目內部聯系的圖表、圖形或圖像，使抽象的研究材料形象化、具體化.

例1 某商場銷售一種電視機，１月份每臺毛利潤是售出價的２０%（毛利潤 ＝ 售出價 － 買入價）. ２月份該商場在買入價不變的情況下將每臺售出價調低１０%. 結果銷售臺數比１月份增加了１２０%. 問２月份的毛利潤總額與１月份相比是增加還是減少？增加或減少百分之幾？

分析 本題其數量關系較復雜. 在教學中，為了便于講解，可利用下表：

設１月份銷售臺數為ａ，每臺售出價為ｂ.

從上例可以看出，表格直觀具體，便于操作，便于思考，有助于發現規律性的東西，用于分析數量關系復雜的應用題，常常能收到良好的效果.

另外，有些涉及數量關系的題目，用代數方法求解，道路崎嶇曲折，計算量偏大. 這時，不妨借助圖形，直觀地給題中有關數量以恰當的幾何解釋，構造所需的幾何圖形，以通過圖形特征的分析，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑. 還有不少涉及數量關系的題目，與函數的圖像密切相關，靈活運用圖像的直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便、巧妙的解法. 中學數學中常用的列表法、圖解法都是直觀化的應用.

二、整體化

有時候由給定的條件，按照常規的方法和步驟，不可能直接解決問題或要走許多“彎路”，而必須把“非必求部分”視作一個“整體”，才能圓滿解決問題.

例2 小明家里某天來了客人，媽媽讓小明買了３．１５千克蘋果，３．５千克橘子和０．５千克瓜子，共花了１６．３０元；后來又來了幾位客人，小明又在同一地方按原價買了２千克蘋果，５千克橘子和０．５千克瓜子，花了２１．８０元，另有一位顧客按小明同價分別買蘋果、橘子、瓜子各１千克，售貨員共收款１１．６元，小明馬上發現售貨員算賬有誤，請你說說售貨員多收了顧客的錢，還是少收了顧客的錢？

分析 常規方法局部入手解決本題具有一定難度，若把三種物品一起處理，便可使問題迎刃而解.

解 設每千克蘋果、橘子、瓜子各為x元，y元，z元，則

１．５x ＋ ３．５y ＋ ０．５z ＝ １６．３. （１）

２x ＋ ５y ＋ ０．５z ＝ ２１．８. （２）

（２）-（１），得０．５x ＋ １．５y ＝ ５．５，x ＋ ３y ＝ １１.（３）

（３）代入（１），得０．５x ＋ ０．５y ＋ ０．５z ＋ １１ ＝ １６．２，x ＋y ＋ z ＝ １０．６.

答：售貨員應收１０．６元，而實收了１１．６元，多收了１元.

靈活運用整體思想，有助于拓寬視野，看清問題本質，找出內在規律，優化解題過程，簡化解題環節，獲取簡捷、巧妙的解法．數學中常用的構造法、換元法等，都是整體化在解題中的應用.

三、特殊化

在實際解題時，通常可以從適合題意的特殊數值、特殊情形或特殊位置入手，實施特殊化解題. 例如，對于文字題，可以給字母以某些便于求解的數值，先考查相應的數字題；對于與自然數ｎ有關的題目，可以先考查ｎ ＝ １，２，３，…時的情形；對于任意三角形成立的命題，可以先看看等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形或等邊三角形時的情形，等等.

這樣，就可排除選擇支Ｂ，Ｃ，Ｄ. 所以選擇支Ａ必為正確答案.

從上面的例子可以看出，在多數場合，特殊問題往往顯得簡單、具體，容易為人們所認識. 中學數學中常用的待定系數法、篩選排除法等解題方法，本質上都是特殊化在解題中的應用.

四、一般化

解題時，實施一般化的基本途徑，大體上可以概括為三個方面：首先，要從不同的側面分析題目的特征，找出能使題目一般化的有關因素；其次，從不同的因素入手，通過抽象、概括或猜想，常常可以得到多種一般性問題，要力求從中找出最接近于特殊問題的本質，又為自己所熟悉、易于解答的一般性問題；最后，在返回原題的過程中，要注意一般性問題與特殊性問題之間的差別，針對這種差別，采取不同的方法或技巧，以便順利地過渡到原題的解答上.

例4 計算： 1991 × 1992 × 1993 × 1994 + 1 － １９９２２.

分析 本題直接進行數值運算，計算量較大，容易掩蓋一般本質. 為此，可將原題一般化，用適當的代數式代替根式中的四個連續自然數.

一般化和特殊化的思維方向正好相反，也是解題的一種重要方法. 數學中常用的遞推法等解題方法，都是一般化在解題中的應用. 恰當地考慮命題的一般化，可以幫助我們養成觀察、比較、分析、歸納的良好習慣，發展思維的概括性和創造性.

五、間接化

在具體解題時，可以從題目的實際情形出發，通過多種方式實施間接化. 常用的途徑有：順推有困難時，可以考慮逆推；直接解題有困難時，可以考慮間接求解；直接證明有困難時，可以考慮間接證明；肯定命題有困難時，可以考慮否定命題.

例5 判斷正誤，并說明理由：

甲數大于乙數，則甲數的絕對值大于乙數的絕對值.

分析 （1）甲數大于乙數，則在數軸上表示甲數的點應在表示乙數的點的右邊；（2）甲數的絕對值大于乙數的絕對值，則在數軸上表示甲數的點到原點的距離大于表示乙數的點到原點的距離. 很顯然，從數軸上可以看到，由（1）不一定推得出（2），事實上，我們只要取１與－３便可證明這個命題是錯誤的，因為１ ＞ －３，而｜１｜ ＜ ｜－３｜．

間接化在平時解題中是非常有用的，比如常用的逆推法、求補法、反證法、同一法、構造（反例）法等解題方法，本質上都是這一方法在解題中的應用.

以上列舉了數學解題中的若干方法，不難看出，這些方法是相互滲透、相互聯系、相互補充的. 它們從各個不同的側面，給我們提供了入門的鑰匙.

當然，我們也須看到，數學問題浩如煙海，幾條解題方法不可能包羅萬象，因此，為了更好地發揮策略的指導作用，在解題實踐中，要把各種思想融合到自己的知識和經驗中去，與有關的數學思想、數學方法、數學技巧有機地結合起來，有目的、有意識地加以運用，并在運用中不斷總結、提煉新的思想方法. 只有這樣，才有可能作出獨立的發現，成功地解決所面臨的各種問題.

【參考文獻】

［１］《中學教研》（數學）２００７．３，中學數學教學中構造反例的若干方法.

［2］《中小學數學》（初中版）２００８．１－２，用字母代替數的求值法.

［3］《數理化解題研究》（初中版）２００９．４，淺談初中數學解題中常用的整體求解方法.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文