例談初中數學學生思維品質的培養

數學是思維的工具，數學是思維的體操，數學是進行思維訓練的載體. 因此，中學數學教育與思維科學之間的緊密聯系也是十分顯然的，前蘇聯教育家Ａ．Ａ．斯托利亞爾干脆把數學教學定義為數學（思維）活動的教學. 他認為，數學教學既可以理解為思維活動的結果，又可以理解為思維活動的過程，這兩種不同的理解在認識上反映了傳統的教育理論對待知識與能力、結果與過程的分歧. 現代教育理論從培養人才的需要出發，愈來愈強調教學的過程（即思維的過程），愈來愈強調培養學生的能力，特別是思維能力的重要性. 下面本文針對初中數學教學的實際從數學思維廣闊性、思維的靈活性、思維的批判性三個方面，就如何提高學生的思維能力作一些闡述.

一、加強一題多解與一題多變的練習，提高學生思維的廣闊性

思維的廣闊性，又稱為思維的發散性，它表現為思路開闊，能全面地分析問題，多方向地研究問題，多角度地思考問題. 善于運用發散思維來思考問題是思考開闊的一種表現

例1 如圖1，梯形ＡＢＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＞ ＡＢ，以Ａ為圓心，ＡＢ為半徑作圓交ＢＣ于Ｇ，與ＡＤ交于Ｅ，與ＢＡ的延長線交于Ｆ，求證：ＥＦ ＝ ＥＧ.

對這道題，可啟發引導學生用以下幾種方法證明：

證法一 連接ＡＧ，可以用圓心角相等來證.

證法二 連接ＢＥ，可以用圓周角定理的推論來證.

證法三 連接ＦＧ，可以用垂徑定理來證.

證法四 延長ＥＡ交圓Ａ于Ｈ，可以用平行弦的性質來證.

通過以上四種不同證法的分析、講解，既復習了圓的有關知識，又培養了學生的發散性思維.

有時也可將書本上的封閉型證明題改造成開放性問題，因為開放性問題只有原則性、指向性要求，它的顯著特征是答案的多樣性和多層次性，要求學生運用所學過的知識展開發散性思維. 這類題是培養學生創新意識和發散性思維能力的極好素材.

例2 如圖2，ＡＢ是⊙Ｏ的直徑，⊙Ｏ過ＢＣ的中點Ｄ，ＤＥ垂直ＡＣ，求證：ＤＥ是圓Ｏ的切線.

這是一道書本練習題，在學生完成證明以后，可將事先設計好的兩個開放性問題呈現給學生，引發學生思考.

（１）由題中條件，你還能得出哪些正確結論？（要求：不再標注其他字母、輔助線，不寫推理過程. ）

（２）若∠ＢＡＣ為直角，其他條件不變，除上述結論外，你還能推出哪些新的正確結論？并畫出圖形［要求同（１）］

解 （１）下列結論可供選擇，①ＡＢ ＝ ＡＣ；②∠Ｂ ＝ ∠Ｃ；③ＤＥ２ ＝ ＡＥ × ＣＥ；④ＤＣ２ ＝ ＣＥ × ＣＡ；⑤∠Ｃ ＋ ∠ＣＤＥ ＝ ９０°；⑥ＣＥ２ ＋ ＤＥ２ ＝ ＣＤ２．

（２）畫出圖形如圖3，下列結論可供選擇：①ＣＥ ＝ ＤＥ；②ＤＥ ＝ ＡＥ；③ＣE ＝ ＡＥ；④ＥＤ∥ＡＢ；⑤ＣＡ是⊙Ｏ切線；⑥ＤＥ ＝ ＡＢ；⑦∠Ｃ ＝ ∠ＣＤＥ = ∠Ｂ ＝ ４５°；⑧ＣＡ２ ＝ ＣＤ × ＣＢ；⑨ == ；⑩ = ； ＡＢ２ ＋ ＡＣ２ ＝ ＢＣ２.

在平常的教學中，要注意將一些封閉型習題進行開放式處理，這對培養學生發散性思維是極有益處的.

二、加強基礎知識的逆向教學和解題上的逆向推理，提高學生思維的靈活性

思維的靈活性是指思維活動的靈活程度，它表現為對知識的運用自如，流暢變通，思維不囿于固定的程序或模式，能根據具體情況及時換向，調整思路，克服思維定式. 在初中數學眾多的概念、定理、公式、法則往往具有其逆命題、逆定理、可逆公式、可逆法則，這就為培養逆向思維提供了有利條件，下面試舉例給予說明.

例3 填空：ｎ２（）２ ＝ ｎ９，（－２）２００１ × （０．５）２００２ ＝ （）.

以上兩題便是同底數冪相乘、積的乘方公式的逆應用.

（２）（ａ － ｂ） × （） ＝ ｂ２ － ａ２（用其逆運算，因式分解）.

（３）某容器罐有酒精若干升，第一次倒出三分之一，接著倒進２０升，第二次倒出現有酒精的一半還多２７升，這時容器中還有３３升，問：原有酒精多少升？

本題的代數解法屬于正向思維，而算術解法的思想是逆向思維. 由最后的一個條件可得３３ ＋ ２７ ＝ ６０（升）是現存酒精的一半，所以現存酒精為６０ × ２ ＝ １２０（升），再由第一個條件有１２０ - ２０ ＝ １００（升），這是原有酒精的三分之二，故原有酒精為１００ ÷＝ １５０（升）.

三、加強對題目錯誤解法的分析，提高學生思維的批判性

所謂思維的批判性，是指思維活動中獨立分析和批判的程度，它表現為獨立思考，善于提出問題，能及時找到謬誤并糾正，能夠在數學問題解決中總結教訓和經驗，進行反思. 為培養學生思維的批判性，教學中可有意提出一些容易混淆的概念，引導學生分析辯論，適當給出一些似是而非的判斷，啟發學生辨別真假，還可故意給出某些錯誤解答，組織討論，讓學生找出錯誤之所在和原因.

例4 （初三代數一題）已知ｘ１，ｘ２是方程ｘ２－ ３ｘ ＋ ５ ＝ ０的兩個根，求ｘ１２ ＋ ｘ２２的值.

教師可將此題解法先板演在黑板上：

解 因為ｘ１，ｘ２是方程ｘ２ － ３ｘ ＋ ５ ＝ ０的兩個根，

根據韋達定理ｘ１２ ＋ ｘ２２＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ - ２ｘ１ｘ２ ＝ （＋ ３）２ － ２ × ５ ＝ －１.

然后教師啟發學生對上述解法進行評判.當有學生提出ｘ１２ ＋ ｘ２２結果一定是非負數，因此，答案“－１”必定錯誤時，教師進一步提問：此題錯誤的根本原因是什么？讓學生展開討論. 學生在上述解法的質疑評判過程中，弄清了韋達定理的應用前提是方程一定要有實數根這一關鍵知識點，也培養了質疑精神和獨立思考的可貴品質. 特別要注意的是，當學生在解決數學問題的過程中有一些錯誤，甚至為錯誤還振振有辭時，我們老師不應該訓斥，而是要熱情地鼓勵并做適當引導.

總之我們教師遵循學生數學思維的規律和特點，結合基礎知識的學習和解題訓練有機地滲透有關思想，逐步有意識地培養學生的各項思維品質，學生的數學素養和數學能力必將有長足的提高. 當然，這并非一朝一夕的事，而需要我們教師周密的計劃，精心備課，經過長期艱苦的訓練，才能收到好的效果.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文